第七节平面与空间直线平面及其方程一、二、空间直线及其方程三、小结思考题经济数学微积分
一、平面及其方程 二、空间直线及其方程 三、小结 思考题 第七节 平面与空间直线
一、平面(plane)及其方程(equation)2n平面的点法式方程M如果一非零向量垂直M于一平面，这向量就叫做Y0该平面的法线向量(normalvector)法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量。已知 n=(A, B,C), M,(xo, Jo, zo),设平面上的任一点为 M(x,y,z)必有 M,Mln=M,M.n=0经济数学微积分
一、平面(plane)及其方程(equation) x y z o M0 M 如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 n A B C = ( , , ,) ( , , ), 0 0 0 0 M x y z 设平面上的任一点为 M(x, y, z) M M n 必有 0 ⊥ M0M n = 0 n ( normal vector ) 平面的点法式方程
M,M=(x-X,y-yo,z-z(A(x -x)+ B(y - yo)+C(z - zo) = 0平面的点法式方程其中法向量n=(A,B,C)，已知点(xo，Jo,z)平面上的点都满足上述方程，不在平面上的点都不满足上述方程，上述方程称为平面的方程，平面称为方程的图形，经济数学微积分
M M x x y y z z 0 0 0 0 = − − − ( , , ) A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 平面的点法式方程 平面上的点都满足上述方程，不在平面上 的点都不满足上述方程，上述方程称为平面的 方程，平面称为方程的图形． 其中法向量 n A B C = ( , , ,) 已知点 ( , , ). 0 0 0 x y z
例 1 求过三点A(2,-1,4)、B(-1,3,-2)和C(0,2,3)的平面方程解AB=(-3, 4,-6)AC =(-2, 3,-1)取 n= AB×AC =(14, 9,-1)所求平面方程为 14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=014x+9y-z-15=0.化简得微积分经济数学
例 1 求过三点A(2,−1,4)、B(−1,3,−2)和 C(0,2,3)的平面方程. 解 AB = − − ( 3, 4, 6) AC = − − ( 2, 3, 1) 取 n = AB AC = − (14, 9, 1 ,) 所求平面方程为 14(x − 2) + 9( y + 1) − (z − 4) = 0, 化简得 14x + 9y − z − 15 = 0
例2求过点(1,1,1)，且垂直于平面x-y+z=7和3x+2y-12z+5=0的平面方程解n =(1,-1,1), n, =(3,2,-12)取法向量 n=n, ×n, =(10,15,5)所求平面方程为10(x -1) +15(y -1) + 5(z -1) = 0,化简得 2x+3y＋z-6=0.华经济数学微积分
例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x − y + z = 7和 3x + 2 y −12z + 5 = 0的平面方程. ( ) 1 n = − 1, 1,1 , ( ) 2 n = − 3,2, 12 取法向量 n n1 n2 = = (10,15,5 , ) 10(x − 1) + 15( y − 1) + 5(z − 1) = 0, 化简得 2x + 3y + z − 6 = 0. 所求平面方程为 解