第二节偏导数及其在经济分析中的应用偏导数的定义及其计算方法二偏导数的几何意义及函数偏导数存在与函数连续的关系三、高阶偏导数四、伙偏导数在经济分析中的应用偏边际与偏弹性五、小结思考题经济数学微积分
一、偏导数的定义及其计算方法 二、偏导数的几何意义及函数偏 导数存在与函数连续的关系 三、高阶偏导数 第二节 偏导数及其 在经济分析中的应用 五、小结 思考题 四、偏导数在经济分析中的应用 偏边际与偏弹性
一、偏导数的定义及其计算法定义设函数z=,f(x,J)在点(xo,Jo)的某一邻域内有定义，当y固定在y而x在x.处有增量△x时，相应地函数有增量f(xo + Axr,yo)- f(xo,yo),f(x, + Ax, yo) - f(xo,yo)如果lim存在，则称ArAr-→0此极限为函数z=f(x,y)在点(xo,y)处对x的偏导数（partialderivative），记为经济数学微积分
定义 设函数 z = f (x, y)在点 ( , ) 0 0 x y 的某一邻 域内有定义，当 y固定在 0 y 而 x 在 0 x 处有增量 x 时，相应地函数有增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y − f x y ， 如果 x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称 此极限为函数z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对 x 的 偏导数(partial derivative)，记为 一、偏导数的定义及其计算法
Ozaf， Zxx=xo或f(xo,yo).axaxx=xoX=Xo1y=yoy=yoy=yo同理可定义函数z= f(x,y)在点(xo,yo)处对j的偏导数，为f(xo, yo + Ay) - f(xo,yo)limAyAy-→0Oz.af记为z, x=x,或f,(xo,yo)ayayX=Xox=xoy=yoy=yoy=yo微积分经济数学
同理可定义函数 z = f (x, y)在点 ( , ) 0 0 x y 处对 y 的偏导数， 为 y f x y y f x y y + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 记为 0 0 y y y x x z = = ， 0 0 y y y x x f = = ， 0 0 y y x x y z = = 或 ( , ) 0 0 f x y y . 0 0 y y x x x z = = ， 0 0 y y x x x f = = ， 0 0 y y x x x z = = 或 ( , ) 0 0 f x y x
如果函数z= f(x,J)在区域D 内任一点(x,J)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、的函数，它就称为函数z=f(x,)对自变量x的偏导数，Oz.,%, z,或f(x,y).记作axax同理可以定义函数z=_f(x,y)对自变量y的偏导Oz.,, z,或f,(x,y).数，记作yOy经济数学微积分
如果函数z = f ( x, y)在区域D 内任一点 (x, y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x、y的函数，它就称为函数z = f ( x, y)对 自变量x的偏导数， 记作 x z ， x f ， x z 或 f (x, y) x . 同理可以定义函数z = f ( x, y)对自变量y 的偏导 数，记作 y z ， y f ， y z 或 f (x, y) y
偏导数的概念可以推广到二元以上函数如 u= f(x,y,z)在(x,y,z) 处(x,,z2)= lim I(x+Ax, y,z)-(x,y,z)AxAr-→0f(x, y+Ay,z)- f(x, y,z)f,(x,y,z) = limAyAy-→0f(x,y,z +△z)- f(x,y,z)f,(x,y,z) = limAzz→0福经济数学微积分
偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 u = f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处 , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 x f x x y z f x y z f x y z x x + − = → , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 y f x y y z f x y z f x y z y y + − = → . ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 z f x y z z f x y z f x y z z z + − = →