《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第八章 多元函数微分法及其应用 8-3 全微分及其应用

第三节全微分及其应用全微分一、二、全微分在近似计算中的应用三、小结思考题经济数学微积分

一、全微分 二、全微分在近似计算中的应用 三、小结 思考题 第三节 全微分及其应用

一、全微分(perfect differential)由一元函数微分学中增量与微分的关系得f(x+△x,y)- f(x,y)fx(x, y)Ax~f(x, y+Ay)- f(x,y) f,(x,y)Ay二元函数二元函数对x和对的偏增量对x和对的偏微分(partialincrement)(partialdifferential)经济数学微积分

f (x + x, y) − f (x, y)  f x (x, y)x f (x, y + y) − f (x, y) f x y y  y ( , ) 二元函数 对 x 和对 y 的偏微分 (partial differential) 二元函数 对 x 和对 y 的偏增量 (partial increment) 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 一、全微分（perfect differential)

全增量（perfectincrement)的概念如果函数z= f(x,)在点(x,J)的某邻域内有定义，并设P'(x+△x,y+△y)为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差f(x+ Ax, y+ Ay)- f(x,y)为函数在点P对应于自变量增量△x,△y的全增量，记为△z，即 △z=f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)经济数学微积分

如果函数z = f ( x, y)在点(x, y)的某邻域内 有定义，并设P(x + x, y + y)为这邻域内的 任意一点，则称这两点的函数值之差 f ( x + x, y + y) − f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x,y 的全增 量，记为z， 即 z= f ( x + x, y + y) − f ( x, y) 全增量(perfect increment)的概念

全微分的定义如果函数z= f(x,y)在点(x,y)的全增量△z= f(x+△x,y+Ay)- f(x,y)可以表示为△z=A△x+B△y+o(p)，其中A,B不依赖于△x,Ay而仅与x,y有关，p= /(△x) +(Ay)2,则称函数z=f(x,y)在点(x,)可微分,A△x+B△y称为函数z=_f(x,y)在点(x,y)的全微分，记为dz，即dz=A△x+B△y经济数学微积分

如果函数 z = f (x, y)在点(x, y)的全增量 z = f (x + x, y + y) − f (x, y)可以表示为 z = Ax + By + o()，其中A, B不依赖于 x,y而仅与x, y有关， 2 2  = (x) + (y) ， 则称函数z = f (x, y)在点(x, y)可微分， Ax + By称为函数z = f (x, y)在点(x, y)的 全微分，记为dz，即 dz=Ax + By. 全微分的定义

函数若在某区域D内各点处处可微分则称这函数在D 内可微分如果函数z= f(x,J)在点(x,J)可微分,则函数在该点连续事实上 △z= A△x+By+o(p),lim △z = 0,p-→0lim f(x + △x, y + Ay)= limlf(x, y)+ △z)Ar-→0p->0Ay-→0= f(x,y)故函数z= f(x,y)在点(x,)处连续经济数学微积分

函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分. 如果函数z = f (x, y)在点(x, y) 可微分, 则 函数在该点连续. 事实上 z = Ax + By + o(), lim 0, 0  = → z  lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → lim[ ( , ) ] 0 = f x y + z → = f (x, y) 故函数z = f (x, y)在点(x, y)处连续