第四节定积分的换元法换元公式一、手二、小结思考题经济数学微积分
一、换元公式 二、小结 思考题 第四节 定积分的换元法
一、换元公式定理假设(1）f(x)在[a,b]上连续;(2）函数x=β(t)在[α,β上是单值的且有连续导数；(3）当t在区间[α,β]上变化时，x=β(t)的值在[a,b]上变化， 且β(α)=a、(β)=b,则 有[~ f(x)dx = [ f[p(t)]p'(t)dt.经济数学微积分
定理 假设 （1） f ( x)在[a,b]上连续； （2）函数x = (t)在[, ]上是单值的且有连续 导数； （3） 当t 在区间[, ]上变化时，x = (t) 的 值 在[a,b]上变化，且() = a、( ) = b， 则 有 ( )d [ ( )] ( )d b a f x x f t t t = . 一、换元公式
证 设F(x)是f(x)的一个原函数( f(x)dx = F(b)- F(a),Φ(t) = F[β(t)ldFdx@'(t)f(x)@'(t)= f[o(t)lp'(t)dtdx:. Φ(t)是f[p(t)]p'(t)的一个原函数f[p(t)lp(t)dt = Φ(β) -Φ(α),微积分经济数学
证 设F(x)是 f (x)的一个原函数， ( )d ( ) ( ), b a f x x F b F a = − (t) = F[(t)], d d ( ) d d F x t x t = = f (x)(t)= f [(t)](t), f t t t [ ( )] ( )d ( ) ( ), = − (t)是 f[(t)](t)的一个原函数
p(α)=a、β(β)=b,Φ(β)-(α) = F[β(β)]- F[β(α)I= F(b)- F(a),(~ f(x)dx = F(b) - F(a) =Φ(β)-Φ(α)J, lo(t)o'(t)dt.注意当α>β时，换元公式仍成立仁微积分经济数学
() = a、( ) = b, ( ) − () = F[( )]− F[()] = F(b) − F(a), ( )d ( ) ( ) b a f x x F b F a = − = ( ) − () f t t t [ ( )] ( )d . = 注意 当 时，换元公式仍成立
计算cos' xsinxdx.例1Jodt = -sin xdx,解 令 t=cosx,元t=0,x=0=t=1xU2元1cos x sin xdx0660经济数学微积分
例1 计算 2 5 0 cos sin d . x x x 解 令 t = cos x, 2 x = t = 0, x = 0 t = 1, 2 5 0 cos sin d x x x 0 5 1 = − t t d 1 0 6 6 t = . 6 1 = dt x x = −sin d