第五节隐函数的求导公式一、一个方程的情形二、方程组的情形三、小结思考题经济数学微积分
一、一个方程的情形 二、方程组的情形 三、小结 思考题 第五节 隐函数的求导公式
一、一个方程的情形1. F(x,y)= 0隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点P(xo,yo)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(xo,Jo）=0,F,(xo,Jo)±0，则方程F(x,y)=0在点P(xo,Jo)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足条件yo=f(x)，并Fdy有xFdx隐函数的求导公式T经济数学微积分
1. F(x, y) = 0 一、一个方程的情形 隐函数存在定理 1 设函数F(x, y)在 点 ( , ) 0 0 P x y 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0 , y0 ) = 0， Fy (x0 , y0 ) 0，则方程F(x, y) = 0在点 ( , ) 0 0 P x y 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 y = f (x)，它满足条件 ( ) 0 x0 y = f ， 并 有 d d x y y F x F = − . 隐函数的求导公式
例 1 验证方程x2 +y2-1=0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x=0时v=1的隐函数=f(x)，并求这函数的一阶和二阶导数在x=0的值解 令 F(x,J)=x2+y2-l则 F =2x,F,=2y,F(0,1) = 0, ,F,(0,1)= 2 ± 0,依定理知方程x2+ y21=0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x=0时V=1的函数y= f(x).经济数学微积分
例１ 验证方程 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x = 0时y = 1 的隐函数 y = f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在x = 0的值. 解 令 ( , ) 1 2 2 F x y = x + y − 则 F 2 x , x = F 2 y , y = F ( 0 , 1 ) = 0 , ( 0,1 ) = 2 0, Fy 依定理知方程 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x = 0 时y = 1的 函数 y = f (x)．
函数的一阶和二阶导数为dyFdyx= 0,dxdxFyx=0yXd'yxydx?2-yVd'y=-1.dr?x=0经济数学微积分
函数的一阶和二阶导数为 d d x y y F x F = − , y x = − 0 d 0, d x y x = = 2 2 2 d d y y xy x y − = − 2 y y x y x − − = − , 1 3 y = − 2 2 0 d 1. d x y x = = −
dyy求例 2 已知ln/x2+ y2=arctandxxy解 令 F(x,y)=ln /x2+y2-arctanxx+yy-x则 F(x,y)=F,(x,y)x? + y2x?+ y2Fdyx+yXFdxy-xJ微积分经济数学
例 2 已知 x y ln x y arctan 2 2 + = ，求d d y x . 解 令 则 ( , ) ln arctan , 2 2 x y F x y = x + y − ( , ) , 2 2 x y x y F x y x + + = ( , ) , 2 2 x y y x F x y y + − = d d x y y F x F = − . y x x y − + = −