《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第六章 定积分及其应用 6-5 定积分的分部积分法

第五节定积分的分部积分法分部积分公式一、二、小结思考题经济数学微积分

一、分部积分公式 二、小结 思考题 第五节 定积分的分部积分法

一、分部积分公式设函数u(x)、v(x)在区间[a,b]上具有连续udv=[uv], -f'vdu.导数，则有定积分的分部积分公式(uv)'dx =[uv].(uv) = u'v+ uv',推导0[uv]' - f'u'vdx+uv'dx,["udv=[uv] -]"vdu经济数学微积分

设函数u(x)、v(x)在区间a,b上具有连续 导数，则有 d d   b b b a a a u v uv v u = −   . 定积分的分部积分公式 推导 (uv) = uv + uv ,  ( ) d ,   b b a a uv x uv  =    d d , b b b a a a uv u v x uv x = +     d d .   b b b a a a  = − u v uv v u   一、分部积分公式

1arcsin xdx.例1 计算0解令dy = dx,u = arcsinx,dx则du =V=x,V1-xxdx12Parei[xaresin -,1011元+2 63元元12212华经济数学微积分

例1 计算 1 2 0 arcsin d . x x  解 令 u = arcsin x, d d , v x = 2 d d , 1 x u x = − v = x, 1 2 0 arcsin dx x    2 1 = xarcsin x 0 1 2 0 2 d 1 x x x − −  2 6 1  =  1 2 2 0 2 1 1 d(1 ) 2 1 x x + − −  12  =   2 1 0 2 + 1− x 1. 2 3 12 = + −  则

xdx11例2计算01+cos2x解 1+cos2x =2cos2x,xdxxdxT元4d(tanx)20002cos21+ cos2xx[x tan x] -]1tanxdx2 Jo1In 2元元1seX108842馆经济数学微积分

例2 计算 解 π 4 0 d . 1 cos2 x x + x  1 cos2 2cos , 2  + x = x π 4 0 d 1 cos2 x x x  +  π 4 2 0 d 2cos x x x =  ( ) π 4 0 d tan 2 x = x    4 0 tan 2 1  = x x π 4 0 1 tan d 2 − x x    4 0 lnsec 2 1 8  −  = x . 4 ln2 8 −  =

In(1 + x)dx.例3 计算(2 + x)?0In(1 + x)解dx(2 + x)22+xIn(1 -dln(1 + x)2+x2+ x1In 21dx+311+x2+x1+x+x2In 2[In(1 + x) - In(2 + x)In 2- ln333VC经济数学微积分

例3 计算 解 1 2 0 ln(1 ) d . (2 ) x x x + +  1 2 0 ln(1 )d (2 ) x x x + +  1 0 1 ln(1 )d 2 x x = − + +  1 2 0 ln(1 )       + + = − x x 1 0 1 dln(1 ) 2 x x + + +  3 ln2 = − 1 0 1 1 d 2 1 x x x +  + +  x + x − + 2 1 1 1   1 0 ln(1 ) ln(2 ) 3 ln2 = − + + x − + x ln2 ln3. 3 5 = −