新疆大学：《常微分方程》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 线性微分方程组 §5.2 线性微分方程组的一般理论

线性微分方程组的一般理论 x(to)+.+x(o)= 由解的唯一性知 x(t)=x(t)+.+x(t). 证毕. 推论1(5.15)的线性无关的解的最大个数等于 n 由定理2.知，(5.15)的所有解构成一个线性空间.由定理5与定理 6.这个线性空间的维数为n所以(5.15)的所有解构成一个维 线性空间， 由前面的讨论知，阶线性方程 ∫x回+a,()xa-()）+.+an()x=f (5.6 x()=71,x(o)=n2,xa-(o)=nn 与初值问题(5.7)在某种意义下，解是等价的. 因此，由本节的定理2.可推出第四章中的定理2.本节定理3， 定理4，定理5，定理6可推出第四章的定理3，定理4，定理5和定理 6. 结束 帮助 返回

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 1 1 0 0 ( ) . ( ) n n c x t c x t + + = 由解的唯一性知 1 1 ( ) ( ) . ( ). x t c x t c x t = + + n n 证毕. 推论1. (5.15)的线性无关的解的最大个数等于 n. 由定理2.知,(5.15)的所有解构成一个线性空间.由定理5与定理 6.这个线性空间的维数为 . 所以(5.15)的所有解构成一个 维 线性空间. n n 由前面的讨论知, n 阶线性方程 ( ) ( ) ( ) 1 1 ' 1 0 1 0 2 0 ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) , ( ) ,., ( ) n n n n n x a t x t a t x f t x t x t x t    − −  + + + =   = = = (5.6) 与初值问题(5.7)在某种意义下, 解是等价的. 因此,由本节的定理2.可推出第四章中的定理2. 本节定理3, 定理4,定理5,定理6可推出第四章的定理3,定理4,定理5和定理 6. 线性微分方程组的一般理论

线性微分方程组的一般理论 例： 设纯量函数w(t),w,(t)为方程的解 x()+a (t)x(m-1)+.+a (t)x =0 (*) 现证对任意常数c1,C2,C1№1+c2w2也是(*)的解。 证：由于w,(t),的t)的解故 向量函数 2 aw ->2 为方程组 0 10 .ee x() 0 0 x(t)= (快*) 0 0 -a(t) 。 -(t) x(t) 结束 帮助 目录 首页

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 为方程组 1 1 0 1 0 . 0 ( ) 0 0 1 . 0 : ( ) : : : . : : 0 0 0 . 1 : ( ) . . . ( ) ( ) n n x t x t a t a t x t             =                     − − (**) 例: ( ) ( 1) 1 ( ) . ( ) 0 n n x a t x a t x n − + + + = (*) 1 2 1 1 2 2 现证对任意常数c c c w c w , , ( ) +  也是 的解。 证: 由于 为(*)的解.故 向量函数 ( ) 1 2 ' ' 1 2 1 2 1 ' 1 ( ) ( ) ( ) , ( ) : : ( ) n n w t w w t w t t w t w   −         = =                   1 2 w t w t ( ), ( ) 1 2 设纯量函数w t w t ( ), ( )为方程的解 线性微分方程组的一般理论

线性微分方程组的一般理论 的解.由本节定理2.知，对任意常数C1,C2,C1P1(t)+C2P2(t) 也为(*)的解.由()和(*)解之间的等价关系知， cw(t)+c2w2(t) 为(*)的解。 设x(,x2(t),.是匙m(t次可微的纯量函数，则它们线性相关的 充分必要条件是： H () 线性相关 证：设x(t),x2(t),.线姝相关，则存在不全为零的常数 使得1，Cm C1x1+C2X2+.+cxm=0 对上式微分n-1次得 结束 帮助 返回

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 的解.由本节定理2.知,对任意常数 也为(**)的解.由(*)和(**)解之间的等价关系知, 为(*)的解. 1 2 1 1 2 2 c c c t c t , , ( ) ( )   + 1 1 2 2 c w t c w t ( ) ( ) + 设 是 次可微的纯量函数,则它们线性相关的 充分必要条件是: 1 2 ( ), ( ),., ( ) x t x t x t m n−1 ( ) ( ) ( ) 1 2 ' ' ' 1 2 1 1 1 1 2 , ,., : : : m m n n n m x x x x x x x x x − − −                                           (*) 线性相关. 证: 设 线性相关,则存在不全为零的常数 , 使得 1 2 ( ), ( ),., ( ) x t x t x t m 1 ,., m c c 1 1 2 2 c x c x c x + + +  . 0 m m 线性微分方程组的一般理论 对上式微分n- 1次得