2三重积分的概念 第七章多元函数积分学 定义设f(x,y)是平面闭区域D上的有界函数，将D任意分割成n小块： △D,△D2,.△Dn,记第i块的面积为△o,i=l,2,.n),在第i块上任取一点(x,y,) (见图7-4)， 图7-4 作∑fx,y)△G,取元=max diam,}即 (xy) i=1 △0 几是各△D,的直径中的最大值.当九→0时如果 册立f化，y4G,总是存在，则极限值称为函数 f(x,y)在平面闭区域D上的二重积分
11 第七章 多元函数积分学 定义 设 f x y ( , )是平面闭区域 D 上的有界函数，将 D 任意分割成 n 小块： 1 2 , , D D D n ，记第i 块的面积为 ( 1,2, . ) i = i n ，在第i 块上任取一点( , ) i i x y （见图 7-4）， 2､二重积分的概念 作 1 ( , ) n i i i i f x y = ，取 1 max { }i i n diam = ，即 是各 Di 的直径中的最大值. 当 →0时，如果 0 1 lim ( , ) n i i i i f x y → = 总是存在，则极限值称为函数 f x y ( , )在平面闭区域 D 上的二重积分， (xi ,yi) i x y O 图 7-4
2、二重积分的概念 第七章多元函数积分学 记为 ∬fc,o=lm∑fx,y)△o,. 0 其中D称为积分区域，f(x,y)称为被积函数，dσ称为面积微元，f(x,y)do称 为被积表达式，∑f(x,y)△o,称为积分和
12 第七章 多元函数积分学 记为 0 1 ( , )d lim ( , ) n i i i D i f x y f x y → = = . 其中 D 称为积分区域， f x y ( , )称为被积函数，d 称 为面积微元， f x y ( , ) d 称 为被积表达式， 1 ( , ) n i i i i f x y = 称为积分和. 2､二重积分的概念
2、二重积分的概念 第七章多元函数积分学 如果二重积分川f(x,yo存在，也称函数fx,)在区域D上可积.由二重 D 积分的定义可知，在区域D上可积的函数f(x,y)一定是D上的有界函数.反过 来，什么样的函数一定是可积的呢？我们不加证明给出下面的定理， 定理1在区域D上的连续函数一定是D上的可积函数. 很容易知道，当f(x,)≥0时，曲顶柱体的体积V=∬f(x,)do;当 fx,)<0时，对应的二重积分是负值，故曲顶柱体的体积V=-∬f(x,ydo. 月3
13 第七章 多元函数积分学 如果二重积分 ( , )d D f x y 存在，也称函数 f x y ( , )在区域 D 上可积. 由二重 积分的定义可知，在区域 D 上可积的函数 f x y ( , ) 一定是 D 上的有界函数. 反 过 来，什么样的函数一定是可积的呢？我们不加证明给出下面的定理. 定理 1 在区域 D 上的连续函数一定是 D 上的可积函数. 很容易知道，当 f x y ( , ) 0 时，曲顶柱体的体积 ( , )d D V f x y = ； 当 f x y ( , ) 0 时，对应的二重积分是负值，故曲顶柱体的体积 ( , )d D V f x y = − . 2､二重积分的概念
2、二重积分的概念 第七章多元函数积分学 例1用二重积分表示上半球体x2+y2+z2≤1，z≥0的体积并写出积分区域： 上半球面可以看成是以D为底的，以：=√1-x2-y2为顶的曲顶柱体的体积 (见图7-5)， z=1-x2-y 故 v=∬V-x-ydo, 其中D={(x,y)川x2+y2≤1}. 图7-5
14 第七章 多元函数积分学 例 1 用二重积分表示上半球体 2 2 2 x y z z + + 1, 0 的体积，并写出积分区域. 上半球面可以看成是以 D 为底的，以 2 2 z x y = − − 1 为顶的曲顶柱体的体积 （见图 7-5）， 故 2 2 1 d D V x y = − − ， 其中 2 2 D x y x y = + {( , ) | 1}. 2､二重积分的概念 图 7-5 D x 2+y 2≤1 1 1 y x O z z= 1 x 2 y 2 - -
3、二重积分的性质 第七章多元函数积分学 二重积分和定积分有着相似的性质，以下性质均假设被积函数在所在区域上 可积 性质1/xW+g,明o=∬fx,o+∬gxo； 性质2xHa=,NG&∈： 性质3设D由D、D,组成，则 ∬f(x.yXlo=∬fa+∬fx,No D=D+D D
15 第七章 多元函数积分学 二重积分和定积分有着相似的性质，以下性质均假设被积函数在所在区域上 可积. 性质 1 ( , ) ( , ) d ( , )d ( , )d D D D f x y g x y f x y g x y + = + ； 性质 2 ( , )d ( , )d ( ) D D kf x y k f x y k R = ； 性质 3 设 D 由 D1 、 D2 组成，则 1 2 1 2 ( , )d ( , )d ( , )d D D D D D f x y f x y f x y = + = + ； 3､二重积分的性质