第二节一阶微分方程 ·一、可分离变量的微分方程 ·二、齐次方程 ·三、一阶线性微分方程
第二节 一阶微分方程 • 一、可分离变量的微分方程 • 二、齐次方程 • 三、一阶线性微分方程
一阶方程的一般形式为F(x》,y)=0 或 =f(x,) d 一阶方程有时也可以写成如下的对称形式 P(K,y)k+Q(x,y)少=0 这个方程虽然简单，也常常很难求出解的 表达式，所以本节只讨论几种特殊类型的一阶微 分方程的解法
一阶方程的一般形式为 F x y y ( , , ) 0 = 或 ( , ) dy f x y dx = 这个方程虽然简单，也常常很难求出解的 表达式, 所以本节只讨论几种特殊类型的一阶微 分方程的解法. 一阶方程有时也可以写成如下的对称形式 P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) 0 + =
一、可分离变量的微分方程 s(y)dy f(x)dx i 可分离变量的微分方程. 例如=2xy→yd=2x2k, dx 这类方程的特点： 经过适当整理，可使方程的一端只含有一个变 量和其微分
g y dy f x dx ( ) ( ) = 可分离变量的微分方程. 5 4 2 2x y dx dy 例如 = 4 5 2 y dy x dx 2 , − = 这类方程的特点: 经过适当整理，可使方程的一端只含有一个变 量和其微分. 一、可分离变量的微分方程
分离变量方程的解法： g(y)dy=f(x)dx ① 分离变量法 两边积分，得 g()dy-ff()dx G(y) F(x) 则有 G(y)=F(x)+C ② 当G(y)和F(x)可微，且G'(y)=g(y)≠0时，上述过程可逆， 说明由②确定的隐函数y=x)是①的解， 同样F'(x)=f(x)≠0时，由②确定的隐函数x=y) 也是①的解.称②为方程①的隐式通解
当G y F x G y g y ( ) ( ) , ( ) ( ) 0 和 可微 且 = 时， g y y f x x ( )d ( )d = 两边积分, 得 g y y ( )d = f x x ( )d ① G y F x C ( ) ( ) = + G y( ) F x( ) ② 说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 则有 称②为方程①的隐式通解. 上述过程可逆, 由②确定的隐函数 x＝(y) 分离变量法 同样F x f x ( ) ( ) 0 = 时， 分离变量方程的解法: 也是①的解
例1求微分方程少=2y的通解， x 解分离变量 =2xk, y 两端积分∫兜=2，c, Iny=x2+C ∴.y=Ce为所求通解
2 . dy xy dx 例1 求微分方程 = 的通解 解 分离变量 2xdx, y dy = 两端积分 2 , dy xdx y = 2 1 ln | | y x C = + 2 . x = y Ce 为所求通解