4.2二阶微分方程 一、可降阶的微分方程 二、高阶线性微分方程解的结构 三、二阶常系数齐次线性微分方程 四、二阶常系数非齐次线性微分方程
4.2 二阶微分方程 一、可降阶的微分方程 二、高阶线性微分方程解的结构 三、 二阶常系数齐次线性微分方程 四、二阶常系数非齐次线性微分方程
一、可降阶的高阶微分方程 1、ym=f(x)型的微分方程 2、y”=f(x,y)型的微分方程 3、y”=f(y,Jy)型的微分方程
一、可降阶的高阶微分方程 1、 型的微分方程 2、 型的微分方程 3、 型的微分方程 ( ) ( ) y f x n = y f x y = ( , ) y f y y = ( , )
1、ym)=f(x)型的微分方程 令z=y-D则是=y四=f.因此 d z z=f(x)dx+G 即ym-D=∫f)dx+ 依次通过n次积分，可得含n个任意常数的通解
令 𝑧 = 𝑦 (𝑛−1) ,则 d 𝑧 d 𝑥 = 𝑦 (𝑛) = 𝑓(𝑥), 因此 𝑧 = න𝑓 (𝑥) d 𝑥 + 𝐶1 即 𝑦 (𝑛−1) = න𝑓 (𝑥) d 𝑥 + 𝐶1 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 1、𝑦 (𝑛) = 𝑓(𝑥)型的微分方程
例1解方程y"=e2x-cosx
2 1 cos . x 例 解方程 y e x = −
2、y”=f(x,y)型的微分方程 解法：令y'=p(x),则y”=p', 故有p'=f(x,p) 此时，该二阶微分方程变为一阶微分方程，求出 一阶微分方程的通解后再两边积分即可
解法：令𝑦 ′ = 𝑝(𝑥), 则y p = , 故有p f x p = ( , ) 此时，该二阶微分方程变为一阶微分方程，求出 一阶微分方程的通解后再两边积分即可 2、𝑦 ″ = 𝑓(𝑥, 𝑦 ′ )型的微分方程