第一章概率论的基本概念.6.生的频繁程度.频率大，事件A发生就频繁，这意味着事件A在一次试验中发生的可能性就大.反之亦然·因而，直观的想法是用频率来表示事件A在一次试验中发生的可能性的大小.但是否可行，先看下面的例子。例1考虑“抛硬币”这个试验，我们将一枚硬币抛掷5次、50次、500次，各做10遍.得到数据如表1一1所示（其中nH表示H发生的频数，f，（H）表示H发生的频率）表1-1n=5n50n=500实验序号f.(H)f.(H)nHnHf,(H)nH21220. 42510.440.50223250.60.502490.49831210.20.422560.512451.0250.502530.506510.2240.482510.50262210.40.422460.492740.8180.362440.48882240.40.482580.516930.6270.542620.5243100.6310.622470.494这种试验历史上有人做过，得到如表1一2所示的数据。表 1~2实验者nf.(H)nH德摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069K·皮尔逊1200060190.5016K·皮尔逊24000120120.5005从上述数据可以看出：抛硬币次数n较小时，频率f,（H)在0与1之间随机波动，其幅度较大，但随着n增大，频率f，（H)呈现出稳定性.即当n逐渐增大时（H)总是在0.5附近摆动，而逐渐稳定于0.5.口例2考察英语中特定字母出现的频率。当观察字母的个数n（试验的次
83频率与概率数）较小时，频率有较大幅度的随机波动.但当n增大时，频率呈现出稳定性、表1一3就是一份英文字母频率的统计表①：表1-3字母频率字母频率字母频率E0.1268LP0.03940.0186TDB0.09780.03890.0156AU0.0788V0.02800.01020cK0.07760.02680.00601F0.0707x0.02560.001 6NM0.0706J0.024 40.0010sWQ0.06340.02140.0009RY0.0594z0.02020.0006HG0.05730.0187口大量试验证实，当重复试验的次数n逐渐增大时，频率f，（A）呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数·这种“频率稳定性”即通常所说的统计规律性．我们让试验重复大量次数，计算频率f，（A），以它来表征事件A发生可能性的大小是合适的，但是，在实际中，我们不可能对每一个事件都做大量的试验，然后求得事件的频率，用以表征事件发生可能性的大小.同时，为了理论研究的需要，我们从频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出如下表征事件发生可能性大小的概率的定义.（二）概率定义设E是随机试验，S是它的样本空间.对于E的每一事件A赋予一个实数.记为P（A），称为事件A的概率，如果集合函数P（·）满足下列条件：1°非负性：对于每一个事件A，有P（A)≥0；2°规范性：对于必然事件S,有P（S)=1；3°可列可加性：设A，A2，是两两互不相容的事件，即对于A,A，=，i≠j.i,j=1,2,,有①这是由Dewey.G.统计了约438023个字母得到的，引自RelativeFrequencyofEnglishSpellings(Teachers CollegePress.Columbia University.NewYork,1970)
第一章概率论的基本概念P(A, UA, U...)=- P(A,)+P(A,)+...(3.1)在第五章中将证明，当n→时频率f，（A）在一定意义下接近于概率P(A).基于这一事实，我们就有理由将概率P(A)用来表征事件A在一次试验中发生的可能性的大小，由概率的定义，可以推得概率的一些重要性质性质iP(Q)=0.证令A,=0(n=1,2,),则UA,=@,且AA,=0,j,i,j=1,2,由概率的可列可加性（3.1）得P(0) = P(U A,)= ZP(A,) = ZP(0).由概率的非负性知，P（）≥0故由上式知PQ）=0.口性质ii（有限可加性）若A，A2，，A，是两两互不相容的事件，则有P(A,UAzU...UA,)=P(A,)+P(A,)+...+P(A,).(3.2)（3.2）式称为概率的有限可加性。证令A+1=A+2=….=，即有AA,=，≠j，，j=1,2,….由（3.1)式得PA,UA U... UA,)=PJA)=CP(A)P(A,)+0=P(A,)+P(A)+.+P(A,).(3.2)式得证.口性质iii设A，B是两个事件，若ACB，则有P(B-A)=P(B)-P(A);(3.3)P(B)≥P(A).(3.4)证由ACB知B=AU（B-A）（参见图1-1），且A（B一A)=Q，再由概率的有限可加性（3.2），得P(B)=P(A)+P(B-A),(3.3)得证；又由概率的非负性1°P(B一A)≥0知P(B)≥P(A).口性质iv对于任一事件A，P(A)≤1证因ACS，由性质ii得P(A)≤P(S)=1.口
84等可能概型（古典概型）性质v（逆事件的概率））对于任一事件A，有P(A)=1- P(A).证因AUA=S，且AA=，由（3.2）式，得1=P(S)=P(AUA)=P(A)+P(A).口性质v得证性质vi（加法公式）对于任意两事件A，B有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB).(3.5)证因AUB=AU(B-AB）（参见图1—2)，且A(B-AB)=，ABCB，故由（3.2)式及(3.3)式得P(AU B)= P(A)+P(B-AB)口= P(A) + P(B)- P(AB).（3.5）式还能推广到多个事件的情况.例如，设A1，A2，A3为任意三个事件，则有P(A,UA,UA,)=P(A,)+P(A,)+P(A)-P(A,A2)-P(A,A)—P(A2A)+P(A,A2A).(3.6)一般，对于任意n个事件A1，A2，，A，，可以用归纳法证得P(A,)- Z P(A,A,)P(A, UA U... UA,) = P(AA,A,)+..+(-1)-"P(A,A,"A,).十iics(3.7)84等可能概型（古典概型）81中所说的试验E，E，它们具有两个共同的特点：1°试验的样本空间只包含有限个元素；2°试验中每个基本事件发生的可能性相同。具有以上两个特点的试验是大量存在的.这种试验称为等可能概型它在概率论发展初期曾是主要的研究对象，所以也称为古典概型.等可能概型的一些概念具有直观、容易理解的特点，有着广泛的应用下面我们来讨论等可能概型中事件概率的计算公式，设试验的样本空间为S=ei，e2，，e,).由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同，即有P((er))=P((e2))=...=P((e,).又由于基本事件是两两互不相容的.于是
.10:第一章概率论的基本概念1=P(S) = P((er) U(e) U .". U (e,))= P((er /)+P(e2))+."+P(fenl)=nP((e)),P(ei)) =1,i=1,2,",n.n若事件A包含k个基本事件，即A=e,）U(ei,）U…U(ei,),这里i，i，…，i是1，2，…，n中某k个不同的数．则有KP(le,)==合包含的基本事件数P(A) =(4.1)n-s中基本事件的总数j=1（4.1）式就是等可能概型中事件A的概率的计算公式①.例1将一枚硬币抛掷三次（1）设事件A，为“恰有一次出现正面”，求P（A,）；（2）设事件A2为“至少有次出现正面”，求P（A,）.解（1)我们考虑1中E2的样本空间：S2=(HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT).而A,=(HTT,THT,TTH).S，中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同.故由（4.1）式，得3P(A,)=8（2）由于A=（TTT），于是P(A2)=1-P(A)=1-=口88当样本空间的元素较多时，我们一般不再将S中的元素一一列出，而只需分别求出S中与A中包含的元素的个数（即基本事件的个数），再由（4.1）式即可求出A的概率，例2一个口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球.从袋中取球两次，每次随机地取一只.考虑两种取球方式：（a）第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球.这种取球方式叫做放回抽样.（b）第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球.这种取球方式叫做不放回抽样.试分别就上面两种情况求（1）取到的两只球都是白球的概率；（2）取到的两只球颜色相同的概率；（3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率解（a）放回抽样的情况。①易知由（4.1)所确定的概率满足非负性、规范性和有限可加性，但此时由于S中只含有限个子集（只有C+C,++C=2"个子集）.因而若在S中取可列无限个两两互不相容的事件A1，A2，，A.，则其中必包含无限多个不可能事件，即知可列可加性与有限可加性是等价的