山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 随机变量的独立性

第三章多维随机变量及其分布S4随机变量的独立性一、两个随机变量的相互独立性二、n个随机变量的相互独立性0

第三章 多维随机变量及其分布 §4 随机变量的独立性 一、两个随机变量的相互独立性 二、n 个随机变量的相互独立性

-随机变量的相互独立性定义 3.4.1 设F(x,y)及Fx(x),F,(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数．若对于所有x,y有P(X≤x,Y≤y = P(X≤x)P(Y ≤y),即F(x,y) = Fx(x)F,(y),则称随机变量X与Y是相互独立的定理 3.4.1 若(X,Y)为离散型随机变量，X与Y相互独立的充分必要条件是对于(X,Y)的每一对可能取的值(x;,J;)有P(X = x,Y = y, = P(X = x,}P(Y = y,).定理 3.4.2若(X,Y)为连续型随机变量，X与Y相互独立的充分必要条件是等式f(x,y)= fx(x)fr(y)在全平面上几乎处处成立001018不不不高等数学工作室不不不

高等数学工作室 2

例1若X,Y的联合分布律为X01P(Y = j)Y2110621621126621P(X = i)33: P(X = 0,Y = 0) = P(X = 0)P(Y = 0),P(X = 0,Y =1) = P(X = 0)P[Y =1),P(X =1,Y = 0 = P(X =1)P(Y = 0},P(X = 1,Y = 1) = P(X = 1}P(Y =1),：X与Y相互独立008个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 3 2 1 X Y 0 1 0 1 6 1 6 2 6 1 6 2 P{X  i} P{Y  j} 2 1 3 1 3 2 P{X  0,Y  0}  P{X  0}P{Y  0}, P{X  0,Y  1}  P{X  0}P{Y  1}, P{X  1,Y  0}  P{X  1}P{Y  0}, P{X  1,Y  1}  P{X  1}P{Y  1}

S例 2设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为X2Y241Pk0.7Pk0.40.30.6求随机变量（X,Y）的分布律X解: P(X =1,Y =2)Y12= P(X = 1}P(Y = 2) = 0.18,0.4220.18P(X = 1,Y = 4)= P(X = 1)P(Y = 4) = 0.12.40.280.12P(X = 2,Y = 2]= P(X = 2)P(Y = 2] = 0.42.P(X = 2,Y = 4)= PX = 2)P(Y = 4) = 0.280008拉不不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 4 X pk 1 0.3 2 0.7 Y pk 2 0.6 4 0.4 0.42 X Y 2 4 0.12 0.18 1 2 0.28 { 1} { 2} 0.18, { 1, 2}       P X P Y P X Y { 1} { 4} 0.12, { 1, 4}       P X P Y P X Y { 2} { 2} 0.42, { 2, 2}       P X P Y P X Y { 2} { 4} 0.28, { 2, 4}       P X P Y P X Y

+例3随机变量(X,Y）的概率密度yxe-J0<x<y<+8f(x,y)=其他0x0判断随机变量X与Y是否相互独立?解x>0w)-Lx.n)y - e -xe其他0-{ I're'a-y'e>0同理 f,(y)其他1由f(x,y)± fx(x)fr(y)知X,Y不独立.oo8不不不高等数学工作堂不不个

高等数学工作室 5    f x  f x y dy X ( ) ( , )  其他    0    x y xe dy x xe   f ( y) 同理 Y  其他    0 y  0   y y xe dx 0 y y e   2 2 1 x  0 x y o