山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 二维随机变量函数的分布

第三章多维随机变量及其分布S5二维随机变量函数的分布二维离散型随机变量函数的分布福二、二维连续型随机变量函数的分布0

第三章 多维随机变量及其分布 §5 二维随机变量函数的分布 一、二维离散型随机变量函数的分布 二、二维连续型随机变量函数的分布

、二维离散型随机变量函数的分布例1设随机变量（X.Y）的分布律为Y0X-110.10.20.1100.220.4求X+Y的分布律解X+Y的分布律为30X+YP0.20.10.20.52T若二维随机变量(X,Y)的联合分布律为P(X = x,Y = y,} = pij,i, j = 1,2,...则Z =g(X,Y)的分布律为 P(Z =z} =PIg(X,Y)= z} =Epig(xiyj)=zk(k = 1,2, ...).000x个个个高等数学工作室不不个

高等数学工作室 2 X+Y P 0 0.1 1 0.2 2 0.15 3 0.2 P{X  xi ,Y  y j}  pij ,i, j  1,2,， { }k P Z  z   i j k g x y z pij ( ) { ( , ) }k  P g X Y  z (k  1,2,)

例2设X与Y是相互独立的随机变量，X～元(），Y～元(2）证明Z=X+～( +).证P(Z =i}= P(X +Y = i) = P(U(X = k,Y =i-k))EP(X=k,Y=i-k) =-ZP(X=k)P(Y =i-k)k=0k=005eeat2ct4.5(i-k)!K(+)e-+)c·,即Z=X+Y～( +)i!k=l说明称性质“同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布”为此类分布具有可加性，上例说明泊松分布具有可加性，另外一项分布也具有可加性001018不不不高等数学工作室不不不

高等数学工作室 3 P{Z  i}  P{X Y  i}      i k P X k Y i k 0 { , }        i k k i k e i k e 0 k 1 1 2 2 ! ( )!     ( { , }) 0 P U X k Y i k i k           i k P X k P Y i k 0 { } { }       i k k k i k Ci e i 0 1 2 ( ) 1 2 ! 1     , ! ( ) 0 1 2 1 2 ( ) 1 2        i k k k i k i i e C i      

6二、二维连续型随机变量函数的分布y1、Z=X+Y的分布设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,J)，则x+y=ZFz(z) =PIZ≤z) =P(X+Y≤z)0XJJ f(x, y)dxdy = m" f(x, y)dx hly,X+ySz.. fz(z)= f(z- y,y)dy, fz(z) = [ f(x,z-x)dx.当 X, Y 独立时, f(x,y)= fx(x)f(y)则 fz(z)= fx(z-y)fr(y)dy 或 fz(z)=[m fx(x)fr(z-x)dx这两个公式称为fx、f,的卷积公式，记为f＊fy，即fx * f, = fx(z- y)fr(y)dy = [ fx(x)fr(z -x)dx.0010个不高等数学工作室不不不

高等数学工作室 4 F (z) Z f x y dxdy x y z     ( , )    z y f (x, y)dx x y O x  y  z  P{Z  z}  ，    f z  f z  y y dy Z ( ) ( , ) f (z) f (x,z x)dx. Z      dy，    [ ]  P{X Y  z}   f z  f z  y f y dy Z X Y ( ) ( ) ( ) f (z) f (x) f (z x)dx. Z  X Y   或     f f  f z  y f y dy X Y X Y * ( ) ( ) f (x) f (z x)dx.  X Y     f (x, y)  f X (x) fY ( y)

S例3设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度4.8y(2-x) 0<x<1,0 < y<xf(x,y)=其它0x0求 Z-X+Y的概率密度fz(z).(4.8(z -x)(2 -x) 0<x<1,0 <z -x<x解 f(x,z-x)=0其它fz(z)= Jm f(x,z-x)dx,[0<x<10<x<1即要使被积函数不为零，需NI<x<z0<z-x<x124.8(z - x) (2 - x)dx = 1.2z2 - 0.4z30<z<1:. fz(z) =3[ 4.8 y(z - x)(2 - x)dx = 0.4z3 - 3.6z2 + 7.2z - 3.21<z<2其它00008个不高等数学工作室不个

高等数学工作室 5 ( ) ( , ) ,   f Z z  f x z  x dx , 0 0 1         z x x x 需 , 2 0 1         x z z x 即       f Z (z)     1 2 z 4.8 y(z x)(2 x)dx 1  z  2     z z z x x dx 2 4.8( ) (2 ) 0  z  1 0 其它 2 3  1.2z  0.4z 0.4 3.6 7.2 3.2 3 2  z  z  z  , 0 4.8( )(2 ) 0 1,0 ( , )             其它 z x x x z x x f x z x o x y