第一章随机事件与概率S2林概率的定义概率的统计定义m概率的公理化定义古典概率四、几何概率08
第一章 随机事件与概率 §2 概率的定义 一、概率的统计定义 二、概率的公理化定义 三、古典概率 四、几何概率
-概率的统计定义定义 1.2.1 在相同的条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中,事件 A 发生的次数n 称为事件 A 发生的频数，比值n/n称为事件 A 发?生的频率，并记成f,(A)，即f,(A)=基本性质(1)0≤ f, (A)≤1;(2) f,(S) = 1;(3)若Aj,A2，…,A,是两两互不相容的事件，则f.(A, U A, U...U A)= f.(A,)+ f.(A,)+ ...+ f,(A).事件A的频率表示了A发生的频繁程度频率越大，事件A发生越频繁，这意味着A在一次试验中发生的可能性越大，反之亦然因而，可以尝试用频率来表示A在一次试验中发生的可能性大小0008个不个高数学工作室不不不
高等数学工作室 2 (1) 0 f (A) 1; n (2) f (S) 1; n
C例考虑历史上有人做过的“掷硬币”试验。数据如下表所示：表 1-1f.(H)实验者nn德·摩根204810610. 5181蒲丰404020480. 5036K·皮尔逊1200060190.5016K·皮尔逊0. 50052400012012其中n表示H发生的频数，fH)表示H发生的频率从表1-1可以看出，频率f.（H)逐渐稳定于0.5.大量试验证实，当重复试验的次数n逐渐增大时，频率fA)呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数P.统计学家通常将其看作事件A发生的概率，这就是概率的统计定义，这种“频率稳定性”即通常所说的统计规律性.50008不不不高等数学工作堂不不
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、概率的公理化定义1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，使概率论有了迅速的发展定义 设 E 是随机试验， S 是 E 下的样本空间.对于 E 的每一事件 A赋予一个实数，记为 P（A），称为事件A 的概率，如果集合函数P（·）满足下列条件：1°非负性对于每一个事件A，有P(A)≥0;2°规范性对于必然事件 S，有P(S)=1;3°可列可加性对于两两互不相容的事件Aj,A,，…，成立P(A, UA, U-.-) = P(A,)+ P(A,)+..:000个不个高等数学工作室不个
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S其他性质性质 1 P(O)=0.证结合可列可加性，令A = A, =·…·= 即可得证.性质2（有限可加性）对于两两互不相容的事件A,,A,A,，成立P(A, UA, U...UA, )= P(A)+ P(A)+ ...+ P(A,).证 结合可列可加性及性质 1，令An+1 = An+2 =.…:=の即可得证.性质3设A,B是两个事件，若ACB,B（可减性）P(B-A)= P(B)-P(A);A(单调性)P(A)≤ P(B).证 : ACB :.AU(B-A)=B: A(B-A)=O : P(A)+P(B-A) = P(B):P(B-A)=P(B)-P(A), 由概率的非负性知 P(B)≥ P(A)P(B-A)= P(B-AB) = P(B)-P(AB)说明0008个不个高等数学工作室个
高等数学工作室 5 A B A(B A) B P(A) P(B A) P(B) P(B A) P(B) P(A), B A A(B A) P(B) P(A). P(B A) P(B AB) P(B) P(AB)