第五章S2正定二次型正定二次型的概念二、正定二次型的判别加油！
§2 正定二次型 第五章 一、正定二次型的概念 二、正定二次型的判别
一、正定二次型的概念定义1如果对任意n维列向量X≠0都有f =XTAX>0,则称f =XTAX为正定二次型并称实对称矩阵A是正定矩阵加油！
0, 0, , 1 T T n X f X AX f X AX A 如果对任意 维列向量 都有 则称 为 并称实对称矩阵 定义 是 正定二次型 正定矩阵 一、正定二次型的概念
二、正定二次型的判别定理1二次型f =XTAX为正定二次型的充分必要条件是对称矩阵A的特征值全为正数证：设A的特征值为，，，n则二次型f=XTAX经正交变换X=CY化为f = ay? +ay?+...+any?充分性：若,>0(i=1,2,,n)，对于任意的X 0，则有Y=C-IX± 0故 f(X)= f(CY)= ay? + 2,y +...+ a,y, > 0即二次型征定。加油！
二、正定二次型的判别 1 T f X AX A 二次型 为正定二次型的充分必要条件 是对称矩阵 的特征 定理 值全为正数 1 2 2 2 2 1 1 2 2 n T n n A f X AX X CY f y y y 证:设 的特征值为 ， ， ， ， 则二次型 经正交变换 化为 充分性 : 1 0( 1, 2, , ) 0 0 i i n X Y C X 若 ，对于任意的 ，则有 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) 0 n n 故 f X f CY y y y 即二次型f正定
必要性(反证法）假设存在某个2.≤0，取Y=e.(单位向量)当X =Ce.±0,则有f(X)= f(Ce,)= a,≤ 0.上式与f为正定二次型矛盾，因而a,>0(i=1,2,,n)推论1:实二次型f=XAX为正定的充分必要条件是它的正惯性指数为n推论2:实二次型f =XTAX为正定的充分必要条件是它的规范标准形为f=++…+y加油！
必要性(反证法) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0. s s s s s Y e X Ce f X f Ce 假设存在某个 ，取 单位向量 ， 当 ，则有 0( 1, 2, , ). i 上式与f i n 为正定二次型矛盾，因而 : 2 2 2 1 2 2 T n f X AX f y y y 实二次型 为正定的充分必要条件是 它的规范标准形为 推论 : 实二次型 f X AX 为正定的充分必要条件是 它的正惯性 推论1 指数为n
三、正定二次型的直接判别定义2.设A为n阶矩阵，由A的前k行前k列元素构成aa1201ka21(22a2k的k阶行列式ak1ak2akk称为矩阵A=(a,)的k阶顺序主子式加油！
定义2 .设A n A k k 为 阶矩阵，由 的前 行前 列元素构成 11 12 1 21 22 2 1 2 k k k k kk a a a a a a k a a a 的 阶行列式 ( ) . A aij 称为矩阵 的k阶顺序主子式 三、正定二次型的直接判别