《线性代数》课程教学资源（习题解答）第一章

习题1.1071. 设A:计算A-B,2A+5B3A-4B4-403-2解：根据加法和数乘运算规则，易知8-41A-B=42L56252A+5B=8 3]X27-1433A-4B=1217-72.求矩阵X：-1(2 2)-3x+(3 1 )-cC1-2(= )=3x解：+04+4-33)10:.X=-(-1 1 3)33.计算(32)0121-1(1)2402-1-1065-7)20-1解：原式=4-26-2-11.1

1 习 题 1.1 1. 设 5 2 1 3 2 0 , 3 4 1 2 0 1     − − = =         − − A B , 计算 A B A B A B − + − , 2 5 , 3 4 . 解：根据加法和数乘运算规则，易知 8 4 1 , 5 4 2 5 6 2 2 5 , 4 8 3 27 14 3 3 4 . 17 12 7   − −     −   − +     −   − −     − A B = A B = A B = 2. 求矩阵 X： 3 1 1 2 1 1 2 3 2 0 2 3 1 1     − − −     − + =     − − X O. 3. 计算: (1) 3 2 0 1 2 1 1 2 4 0 1 2 1 0   −    −       −     − 1.1 1 : 3 1 1 2 1 1 2 3 0 2 0 2 3 1 1 6 2 2 2 1 1 : 3 4 0 4 3 1 1 1 4 3 3 3 1 1 3 2 3 2 0 1 2 1 1 (1) ; 2 4 0 1 2 1 0 X X X X     − − −     − + =     − −     − − −     + =     − −   −  =     −   −    −       −       − 习题 、求下列式中的矩阵 解 、计算： 解 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 6 5 7 0 1 2 : 4 2 6 2 1 1 (2)( , , , ) ; : . (3) ( , , , ); : 3 , , n n n i i i n n n n n n n n b b a a a b a b a a b b b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b A B n =   −   −   =   −       − −               =                     =        原式 解 原式 解 原式 、 皆为 阶方阵 问下 3 2 2 3 2 2 2 3 3 ; : (2)( ) ( 2 ) 0. A A B AB B AB BA A B A AB B AB BA = + + + = + − + + = = 3 列等式成立的条件是什么? (1)(A+B) 解 当 时. 解:当 时. 1.1 1 : 3 1 1 2 1 1 2 3 0 2 0 2 3 1 1 6 2 2 2 1 1 : 3 4 0 4 3 1 1 1 4 3 3 3 1 1 3 2 3 2 0 1 2 1 1 (1) ; 2 4 0 1 2 1 0 X X X X     − − −     − + =     − −     − − −     + =     − −   −  =     −   −    −       −     − 习题 、求下列式中的矩阵 解 、计算： 解 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 6 5 7 0 1 2 : 4 2 6 2 1 1 (2)( , , , ) ; : . (3) ( , , , ); : 3 , , n n n i i i n n n n n n n n b b a a a b a b a a b b b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b A B n =   −   −   =   −     − −               =                     =        原式 解 原式 解 原式 、 皆为 阶方阵 问下 3 2 2 3 2 2 2 3 3 ; : (2)( ) ( 2 ) 0. A A B AB B AB BA A B A AB B AB BA = + + + = + − + + = = 3 列等式成立的条件是什么? (1)(A+B) 解 当 时. 解:当 时

(b)b2(2)(aj,az,"",a,)..bnn解：原式=Zab.=Iaa2(3)(b,ba.,b,),....(an(abab)2...ab.abab..a.b解：原式=...........a.b,a,b2t.a,baaa2X(4)(a,xa2am解：112111-210011(5)0-201-1-11211110001122解：原式11112-2-221-2-220-00100100-44.00004.A，B皆为n阶矩阵，问下列等式成立的条件是什么？2

2 (4) ( ) 11 12 1 1 2 21 22 2 ,          a a x x x a a x ; 解： (5) 1 1 1 2 1 1 0 0 2 1 1 1 1 0 2 0 1 1 1 2 1 1 1 1 0 1 0 0 1 2 2          −         − − −                    . 解：原式 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 0 1 1 2 0 0 1 0 0 1 4 0 0 0 4 0 . 0 0 1       − −      = − −             −   =     4. A，B 皆为 n 阶矩阵，问下列等式成立的条件是什么？ 1.1 1 : 3 1 1 2 1 1 2 3 0 2 0 2 3 1 1 6 2 2 2 1 1 : 3 4 0 4 3 1 1 1 4 3 3 3 1 1 3 2 3 2 0 1 2 1 1 (1) ; 2 4 0 1 2 1 0 X X X X     − − −     − + =     − −     − − −     + =     − −   −  =     −   −    −       −     − 习题 、求下列式中的矩阵 解 、计算： 解 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 6 5 7 0 1 2 : 4 2 6 2 1 1 (2)( , , , ) ; : . (3) ( , , , ); : 3 , , n n n i i i n n n n n n n n b b a a a b a b a a b b b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b A B n =   −   −   =   −     − −             =                 =    原式 解 原式 解 原式 、 皆为 阶方阵 问下 3 2 2 3 2 2 2 3 3 ; : (2)( ) ( 2 ) 0. A A B AB B AB BA A B A AB B AB BA = + + + = + − + + = = 3 列等式成立的条件是什么? (1)(A+B) 解 当 时. 解:当 时

(I)(A+B)=A"+3A°B+3AB+B";(2) (A+B)-(A°+2AB+B)=O:解：（1）当AB=BA时(A+B)"=(A+B)(A+B)=(A+ B)(A° + AB+ BA+ B")=(A+ B)(A° +2AB+B")A+3AB+3AB"+B"(2）当AB=BA时,(A+B)?=A°+AB+BA+B=(A+2AB+B)5.若AB=BA，AC=CA，证明：A,B,C是同阶矩阵，且A(B+C)=（B+C)A证明:A(B+C)=AB+AC=BA+CA=(B+C)A不妨设AeRx，BeRx，则ABeRxBAeRx，由于AB=BA，可知m=s,n=t,n=st=m.即AB是同阶矩阵同理，由AC=CA，知A,C是同阶矩阵6.计算(n为正整数):解:用数学归纳法,=2时( 9)-(G 9)G 9)-C 9)设当m( 9) -( 9)成立,则当m+时:G "-C OG 9-C1 9G-C 9)3

3 (1) 3 3 2 2 3 ( ) 3 3 A B A A B AB B + = + + + ； (2) 2 2 2 ( ) ( 2 ) A B A AB B O + − + + = . 解：(1) 当 AB BA = 时, 3 2 2 2 2 2 3 2 2 3 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( 2 ) 3 3 . A B A B A B A B A AB BA B A B A AB B A A B AB B + = + + = + + + + = + + + = + + + (2) 当 AB BA = 时, 2 2 2 2 2 ( ) ( 2 ). A B A AB BA B A AB B + = + + + = + + 5. 若 AB BA = , AC CA = , 证明: A, B, C 是同阶矩阵, 且 A B C B C A ( ) ( ) + = + . 不妨设 m n s t   A ,B   ，则 , , m t s n AB BA     由于 AB BA = ，可知 m s n t n s t m = = = = , , , . 即 A, B 是同阶矩阵； 同理，由 AC CA = ，知 A, C 是同阶矩阵. 6. 计算(n 为正整数): 2 4. , , : , , , ( ) ( ) , ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5. ( ) : 1 0 (1) ; 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 : 2 , 1 1 1 1 1 1 2 n AB BA AC CA A B C A B C B C A A BC BC A A B C AB AC BA CA B C A A BC AB C B AC BC A n n = = + = + = + = + = + = + = = =             = = =             若 证明 是同阶矩阵 且 证明 计算 为正整数 解 用数学归纳法, 时 1 2 2 2 1 1 0 1 0 , , 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 (2) 0 1 ; 0 0 1 0 2 0 : , 2 , 0 1 0 2 0 0 0 k k n n n k k k k n a a a a a a n a a a a +           = =                         = =         +      =                       = =       设当 时 成立 则当n=k+1时： 解 用数学归纳法 时 1 2 1 1 2 1 1 1 0 ( 1) 1 0 2 , 0 1 0 0 1 ( 1) ( 1) 1 0 1 0 1 0 2 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 k k k k k k k k k k k k k k k a k k a ka a a n k a a ka a a n k k k a k a a a a a a a a a ka a a a a − − − + − + + +             −         = =                 = +  + +               =  =                    设当 时 当 时 0 0 (3) 0 0 . 0 0 n a b c                −       2 4. , , : , , , ( ) ( ) , ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5. ( ) : 1 0 (1) ; 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 : 2 , 1 1 1 1 1 1 2 n AB BA AC CA A B C A B C B C A A BC BC A A B C AB AC BA CA B C A A BC AB C B AC BC A n n = = + = + = + = + = + = + = = =             = = =             若 证明 是同阶矩阵 且 证明 计算 为正整数 解 用数学归纳法, 时 1 2 2 2 1 1 0 1 0 , , 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 (2) 0 1 ; 0 0 1 0 2 0 : , 2 , 0 1 0 2 0 0 0 k k n n n k k k k n a a a a a a n a a a a +           = =                         = =         +      =                       = =       设当 时 成立 则当n=k+1时： 解 用数学归纳法 时 1 2 1 1 2 1 1 1 0 ( 1) 1 0 2 , 0 1 0 0 1 ( 1) ( 1) 1 0 1 0 1 0 2 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 k k k k k k k k k k k k k k k a k k a ka a a n k a a ka a a n k k k a k a a a a a a a a a ka a a a a − − − + − + + +             −         = =               = +  + +               =  =        设当 时 当 时 0 0 (3) 0 0 . 0 0 n a b c              −      

(2)4002a0G1q20a?解：用数学归纳法，n=2时，02aC(o000aQk(k-1)kat-1a0)(a12qtkak-1设当n=k时，0aak00a当n=k+时k(k + 1)(k + 1)a*2a00qt+1kakqk+100a0)0a00-b(3) |(o0c00)a"00a解：0-b00(-b)"0000C0csinecos7. 求并对例7中旋转变换说明此结果的几何意义singcos0解：-sinnecosg-singcosnesingcosesinnecosne该旋转变换表示逆时针旋转了no角。(318. 设(x)=x2-x-1, A=312，求(A)1-104

4 (3) 0 0 0 0 0 0 n a b c     −       解： 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 . 0 0 0 0 n n n n a a b b c c         − = −             7. 求 cos sin sin cos n       −     ，并对例 7 中旋转变换说明此结果的几何意义. 解： cos sin cos sin . sin cos sin cos n n n n n             − − =         该旋转变换表示逆时针旋转了 n 角。 8. 设 ( ) 2 3 1 1 1, 3 1 2 1 1 0 f x x x A     = − − =       − , 求 f A( ). 2 4. , , : , , , ( ) ( ) , ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5. ( ) : 1 0 (1) ; 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 : 2 , 1 1 1 1 1 1 2 n AB BA AC CA A B C A B C B C A A BC BC A A B C AB AC BA CA B C A A BC AB C B AC BC A n n = = + = + = + = + = + = + = = =             = = =             若 证明 是同阶矩阵 且 证明 计算 为正整数 解 用数学归纳法, 时 1 2 2 2 1 1 0 1 0 , , 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 (2) 0 1 ; 0 0 1 0 2 0 : , 2 , 0 1 0 2 0 0 0 k k n n n k k k k n a a a a a a n a a a a +           = =                         = =         +      =                       = =       设当 时 成立 则当n=k+1时： 解 用数学归纳法 时 1 2 1 1 2 1 1 1 0 ( 1) 1 0 2 , 0 1 0 0 1 ( 1) ( 1) 1 0 1 0 1 0 2 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 k k k k k k k k k k k k k k k a k k a ka a a n k a a ka a a n k k k a k a a a a a a a a a ka a a a a − − − + − + + +             −       = =         = +  + +               =  =        设当 时 当 时 0 0 (3) 0 0 . 0 0 n a b c           −      

2a90解: (A)=A-A-I =112-29. 已知α=(1,2,3),β=1,且A=αβ，计算A"'2'3)解:A"=(αβ)αβ).-.(αβ)=α(βα)βα).(βα)β:βα=31-21-31213..2"=3"-αβ=3"-1 A=3"-112331210.举反例说明下列命题是错误的：(I)若A?=0,则A=0：(0 1)解：取A=A=0,但A+0(0 0)(2)若A=A，则A=0或A=I；(11)解：取A=A=A，但A+0且A+10o(3)若AX=AY，且A±O，则X=Y100（00)0000,但AX = AY =解：取A=+0,X=,Y=（30）00(10)20然而，X+Y.11.如果A是实对称矩阵，且A=0，证明：A=05

5 解： ( ) 2 9 2 4 11 0 3 . 1 1 2 f A A A I     = − − =       − − 9. 已知 1 1 (1,2,3), = 1 2 3   =       ， , 且 T A =  , 计算 n A . 10. 举反例说明下列命题是错误的： (1) 若 2 A O= , 则 A O= ； 解：取 0 1 0 0 A   =     , 2 A = 0 ,但 A  0 . (2) 若 2 A = A , 则 A O= 或 A = I ； 解：取 1 1 0 0 A   =     , 2 A A = , 但 A  0 且 A I  . (3) 若 AX = AY ，且 A O , 则 X = Y . 11. 如果 A 是实对称矩阵, 且 2 A O= , 证明: A O= . 1 1 1 0 0 0 0 : 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 1 1 6 (1, 2, 3), (1, , ), , . 2 3 : ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 3 1 1 1 2 3 2 3 3 3 2 1 3 3 3 1 2 7 n n n n T n n T T T T T T T n n T n n a a b b c c A A A A                     − − −         = − = −             = = = = = =        = = =             解 原式 、已知 且 计算 解 、举 2 2 2 2 : (1) , ; 0 0 : , 0, 1 0 (2) , , ; 1 0 : , , 0 0 , . (3) , , . 0 0 0 0 0 0 0 0 : 0, , , 1 0 2 0 3 0 0 0 A O A O A A A O A A A O A I A A A A O A I AX AY A O X Y A X Y AX AY = =   = =      = = =   = =       =  =         =  = = = =                 反例说明下列命题是错误的 若 则 解 取 但 若 则 若 解 取 但 且 若 且 则 解 取 但 2 11 12 1 21 22 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 . 8. , , : . : , , * 0, 0( 1, , ) * 0 1, , ; 1, , n n n n nn T ij ji n j n ij j n nj j ij X Y A A O A O a a a a a a A a a a A A a a a A a i n a a i n j n = = =  = =       =       =  =       = =  = =            = = =     然而, 如果 是实对称矩阵 且 证明 证 设 又 A = 0 1 1 1 0 0 0 0 : 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 1 1 6 (1, 2, 3), (1, , ), , . 2 3 : ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 3 1 1 1 2 3 2 3 3 3 2 1 3 3 3 1 2 7 n n n n T n n T T T T T T T n n T n n a a b b c c A A A A                     − − −         = − = −             = = = = = =        = = =             解 原式 、已知 且 计算 解 、举 2 2 2 2 : (1) , ; 0 0 : , 0, 1 0 (2) , , ; 1 0 : , , 0 0 , . (3) , , . 0 0 0 0 0 0 0 0 : 0, , , 1 0 2 0 3 0 0 0 A O A O A A A O A A A O A I A A A A O A I AX AY A O X Y A X Y AX AY = =   = =      = = =   = =       =  =         =  = = = =                 反例说明下列命题是错误的 若 则 解 取 但 若 则 若 解 取 但 且 若 且 则 解 取 但 2 11 12 1 21 22 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 . 8. , , : . : , , * 0, 0( 1, , ) * 0 1, , ; 1, , n n n n nn T ij ji n j n ij j n nj j ij X Y A A O A O a a a a a a A a a a A A a a a A a i n a a i n j n = = =  = =       =         =  =       = =  = =            = = =     然而, 如果 是实对称矩阵 且 证明 证 设 又 A = 0