《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，B）第四章特征值与特征向量_4-4实对称矩阵的相似对角化

第四章S4实对称矩阵的相似对角化一、实对称矩阵的性质二、实对称矩阵对角化的方法加油！

§4 实对称矩阵的相似对角化 第四章 一、实对称矩阵的性质 二、实对称矩阵对角化的方法

实对称矩阵的性质定理1实对称矩阵的特征值都是实数定理2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的证明：设 Pi,P,是对称矩阵A的不同的两个特征值,, 的特征向量,即 Ap= Pi, Ap2= P2,:A=AT:. apT =(aP)T =(Ap)= pTAT = pTA,于是 p = pAp = pT(p2) =p2加油！

定理1 实对称矩阵的特征值都是实数. 一、实对称矩阵的性质 定理2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的. 1 2 1 2 , , , p p A   设 是对称矩阵 的不同的两个特征值 的特征向量 即 证明: 1 1 1 2 2 2 Ap p Ap p     , ， , T A A  1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T      p p Ap 1 1 , T T T   p A p A 于是 1 1 2 1 2 1 2 2 ( ) T T T   p p p Ap p p   2 1 2 , T   p p

= ( -)pTp2 = 0.，:. pTp2=0即p,与p,正交: 2 ± 22,定理3设A为n阶实对称矩阵,则有正交矩阵C使CTAC=C-AC=Λ,其中Λ是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵加油！

1 2 1 2 ( ) 0. T      p p , 1  2 . 1 2 0 即p1与p2正交 T   p p 1 , , , 3 . T A n C C AC C AC A n      设 为 阶实对称矩阵 则有正交矩阵 使 其中 是以 的 个特征值 为对角元素的对 定 角矩阵 理

实对称矩阵对角化的方法：1.求A的特征值2.由(a,I-A)x =0,求出A的特征向量3.将特征向量正交化：4.将特征向量单位化：5.以特征向量为列向量写出正交矩阵加油！

3.将特征向量正交化; 4.将特征向量单位化； 2. ( ) 0, ; i 由  I A x A   求出 的特征向量 5.以特征向量为列向量写出正交矩阵. 1.求A的特征值 实对称矩阵对角化的方法:

004例 设A=I，求正交矩阵C，使C-1AC031031为对角形矩阵解(1)第一步 求A的特征值002-40-312I-A== (a - 2)( - 4)012-3得特征值2, =2, 2 = 2 = 4加油！

2    ( 2)( 4) ,   2, 4. 得特征值 1  2  3  1 4 0 0 0 3 1 0 1 3 . A C C AC             设 ，求正交矩阵 ，使 为对角形矩阵 解 (1)第一步 求A的特征值 例 4 0 0 0 3 1 0 1 3 I A         