第一章概率论的基本概念自然界和社会上发生的现象是多种多样的.有一类现象，在一定条件下必然发生，例如，向上抛一石子必然下落，同性电荷必相互排斥，等等.这类现象称为确定性现象.在自然界和社会上存在着另一类现象，例如，在相同条件下抛同一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且在每次抛掷之前无法背定抛掷的结果是什么；用同一门炮向同一自标射击，各次弹着点不尽相同，在一次射击之前无法预测弹着点的确切位置.这类现象，在一定的条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验或观察之前不能预知确切的结果.但人们经过长期实践并深人研究之后，发现这类现象在大量重复试验或观察下，它的结果却呈现出某种规律性.例如，多次重复抛一枚硬币得到正面朝上大致有一半，同一门炮射击同一目标的弹着点按照一定规律分布，等等.这种在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性，就是我们以后所说的统计规律性这种在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们称之为随机现象。概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。81随机试验我们遇到过各种试验，在这里，我们把试验作为一个含义广泛的术语.它包括各种各样的科学实验，甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验下面举一些试验的例子。Ei：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况.E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数E：抛一颗般子，观察出现的点数，E5：记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数E：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命.E?：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度，上面举出了七个试验的例子，它们有着共同的特点.例如，试验E，有两种可能结果，出现H或者出现T，但在抛掷之前不能确定出现H还是出现T，这
第一章概率论的基本概念个试验可以在相同的条件下重复地进行.又如试验E。，我们知道灯泡的寿命（以小时计）t≥0，但在测试之前不能确定它的寿命有多长.这一试验也可以在相同的条件下重复地进行.概括起来，这些试验具有以下的特点：1°可以在相同的条件下重复地进行；2°每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；3°进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验，本书中以后提到的试验都是指随机试验我们是通过研究随机试验来研究随机现象的。82·样本空间、随机事件（一）样本空间对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验的结果，但试验的所有可能结果组成的集合是已知的.我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S.样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点，下面写出$1中试验E（k=1，2，，7)的样本空间S：S :(H,T);S2:(HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT);S3:(0,1,2,3);S:(1,2,3,4,5,6);Ss:(0,1,2,3,.);Se:(tlt≥0);S，)IT<y,这里α表示最低温度（℃）表示最高温度（℃).并设这一地区的温度不会小于T。，也不会大于T1.（二）随机事件在实际中，当进行随机试验时，人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.例如，若规定某种灯泡的寿命（小时）小于500为次品，则在E。中我们关心灯泡的寿命是否有t≥500.满足这一条件的样本点组成S。的一个子集：A=（t|t≥500).我们称A为试验E。的一个随机事件.显然，当且仅当子集A中的一个样本点出现时，有t≥500
$2样本空间、随机事件.3.一般，我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件①.在每次试验中，当且仅当这-子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生.特别，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件.例如，试验E，有两个基本事件H)和T)；试验E，有6个基本事件（1)，（2)，，6).样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，S称为必然事件.空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件，下面举几个事件的例子.例1在E2中事件A1：“第-次出现的是H”,即A,=(HHH,HHT,HTH,HTT).事件A2：“三次出现同一面”，即A2=(HHH,TTT).在E中，事件A3：“寿命小于1000小时”，即A=(t/0≤t<1000).在E，中，事件A：“最高温度与最低温度相差10摄氏度”，即A,=((r,y)ly=10,T≤r≤yT).口（三）事件间的关系与事件的运算事件是一个集合，因而事件间的关系与事件的运算自然按照集合论中集合之间的关系和集合运算来处理.下面给出这些关系和运算在概率论中的提法.并根据“事件发生”的含义，给出它们在概率论中的含义。设试验E的样本空间为S，而A，B,A（k=1，2，）是S的子集.1°若ACB，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必导致事件B发生.若ACB且BCA，即A=B，则称事件A与事件B相等2°事件AUB=(r|rEA或EB称为事件A与事件B的和事件.当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件AUB发生类似地，称UA为n个事件A，A2，，A，的和事件；称UA为可列个事件A，A2，…的和事件3°事件AnB=(lrEA且rEB)称为事件A与事件B的积事件.当且仅①严格地说，事件是指S中的满足某些条件的子集，当S是由有限个元素或由可列无限个元素组成时，每个子集都可作为一个事件，若S是由不可列无限个元素组成时，某些子集必须排除在外，幸而这种不可容许的子集在实际应用中几乎不会遇到，今后，每当我们讲到一个事件时都是假定它是容许考虑的那种子集，读者如有兴趣可参考较详细的教材
第一章概率论的基本概念当A，B同时发生时，事件ANB发生.ANB也记作AB.1A为n个事件A，A2，.…，A，的积事件；称类似地，称！A为可列个事件A1，A2，的积事件4°事件A一B=(lrEA且B)称为事件A与事件B的差事件.当且仅当A发生、B不发生时事件A一B发生.5°若AB，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的.这指的是事件A与事件B不能同时发生.基本事件是两两互不相容的6°若AUB=S且ANB=の，则称事件A与事件B互为逆事件.又称事件A与事件B互为对立事件.这指的是对每次试验而言，事件A、B中必有一个发生，且仅有一个发生.A的对立事件记为A.A=S一A.用图1一1一图1一6可直观地表示以上事件之间的关系与运算.例如，在图1-1中长方形表示样本空间S,圆A与圆B分别表示事件A与事件B，事件B包含事件A.又如在图1一2中长方形表示样本空间S，圆A与圆B分别表示事件A与事件B，而阴影部分表示和事件AUBSACBAUBANB图1-1图1-2图1-3A-BBUB-S,BNB-ANB=O图1-4图1-5图1-6在进行事件运算时，经常要用到下述定律.设A，B，C为事件，则有交换律：AUB=BUA；ANB=BNA.结合律：AU(BUC)=（AUB)UC；AN(BNC)=(ANB)NC
83频率与概率S分配律：AU(BNC)=（AUB)N(AUC)；AN(BUC)=(ANB)U(ANC)德摩根律：AUB=ANB：ANB=AUB例2在例1中有A,UA2=(HHH,HHT,HTH,HTT,TTT),A,nA2=(HHH),A2-A,={TTT),A,UA,=(THT,TTH,THH).口例3如图1一7所示的电路中，以A表示“信1I号灯亮”这一事件，以B，C,D分别表示事件：继电器接点I，Ⅱ，Ⅲ闭合，那么容易知道BCCA，BDCA，IBCUBD=A.而BA=の，即事件B与事件A互不相容.又，BUC=BC.（左边表示事件“I，I至少有一个闭合”的逆事件，也就是I，Ⅱ都不闭合，即图1-7B,C同时发生.）口$3频率与概率对于一个事件（除必然事件和不可能事件外）来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生.我们常常希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性究竟有多大.例如，为了确定水坝的高度，就要知道河流在造水坝地段每年最大洪水达到某一高度这一事件发生的可能性大小。我们希望找到一个合适的数来表征事件在一次试验中发生的可能性大小。为此，首先引入频率，它描述了事件发生的频繁程度，进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数一一概率（一）频率定义在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数.比值nA/n称为事件A发生的频率，并记成f.(A).由定义，易见频率具有下述基本性质：1°0≤f,(A)≤1;2° f.(S)=1;3°若A，，A2，A是两两互不相容的事件，则f.(A,UA,U...UA,)=f,(A,)+f,(A,)+..+f,(A,).由于事件A发生的频率是它发生的次数与试验次数之比，其大小表示A发