第五章大数定律及中心极限定理 第一节引言、第二节大数定律 一、教学目的要求 1.了解大数定律及中心极限定理的提出和发展历史。 2.掌握引理:切贝雪夫不等式 3.掌握常用的切贝雪夫大数定律、贝努里大数定理、辛钦大数定律的适用条件及定律内容 会解答有关问题 二、教学方法 讲授法:讲授大数定律、中心极限定理的概念。 演绎法:推导切贝雪夫不等式、定理1,2,3及例题 三、重点难点 重点:掌握切贝雪夫不等式及握常用的大数定律。 难点:大数定律应用具体应用。 四、课时安排:2课时 五、教具准备:多媒体。 六、教学步骤: 一)眀确目标:通过问题引入本次课的教学,明确大数定律、中心极限定理的概念,掌握 贝雪夫不等式的推导及应用,定理1及2的证明,了解定理3的条件及应用 (二)教学过程及教学内容: 1问题引入:大数定律及中心极限定理的提出和发展历史 2内容 (1)定义5.2.1设X1,X2,…,X…是随机变量序列,记 n+X2+…+Xn), n=-( 若存在一个常数序列a1,a2…,an,…,使得对任意正数E,有 PlY, -ak<e 则称随机变量序列{Xn}服从大数定律( Law of great numbers) (2)定义52.2设X1,X2…,Xn…是随机变量序列,a是一个常数,若对任意正数E lim pax 则称随机变量序列{xn}依概率收敛 Convergence In Probability)于常数a,记为:xn一)a (3)推论:可以证明:若Xn》a,Y->b,g(x,y)在点(ab)连续,则有:
第五章 大数定律及中心极限定理 第一节引言、第二节大数定律 一、教学目的要求 1.了解大数定律及中心极限定理的提出和发展历史。 2.掌握引理：切贝雪夫不等式。 3.掌握常用的切贝雪夫大数定律、贝努里大数定理、辛钦大数定律的适用条件及定律内容， 会解答有关问题。 二、教学方法 讲授法：讲授大数定律、中心极限定理的概念。 演绎法：推导切贝雪夫不等式、定理 1，2，3 及例题 三、重点难点 重点：掌握切贝雪夫不等式及握常用的大数定律。 难点：大数定律应用具体应用。 四、课时安排：2 课时 五、教具准备：多媒体。 六、教学步骤： （一）明确目标：通过问题引入本次课的教学，明确大数定律、中心极限定理的概念，掌握 贝雪夫不等式的推导及应用，定理 1 及 2 的证明，了解定理 3 的条件及应用。 （二）教学过程及教学内容： 1 问题引入：大数定律及中心极限定理的提出和发展历史 2.内容： （1）定义 5.2.1 设 X1 , X 2 , , X n , 是随机变量序列，记 ( ) 1 n X1 X 2 X n n Y = + ++ ， 若存在一个常数序列 a1 ,a2 , ,an , ，使得对任意正数 ，有 lim − =1 → n n n P Y a 则称随机变量序列 X n 服从大数定律（Law of Great Numbers）。 （2）定义 5.2.2 设 X1 , X 2 , , X n , 是随机变量序列， a 是一个常数，若对任意正数 ， 有 lim − =1 → P X a n n 则称随机变量序列 X n 依概率收敛(Convergence In Probability)于常数 a ，记为： X a P n ⎯→ 。 （3）推论：可以证明：若 X a P n ⎯→ ， Y b P n ⎯→ ， g(x, y) 在点 (a,b) 连续，则有：
g{(xn,)P→g(a,b)。 (4).(重要)引理5.2.1对于任何具有有限方差的随机变量X及任意正数s恒成立 P{x-E(x)≥s}≤x 公式(521)称为契比雪夫( Chebyshev)不等式 (5)利用引理的例子:例52.1证明:当D(X)=0时,P{X=E(X)}=1。 (6)定理521设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,具有有限方差,且存在常数C使 得D(XA)≤C,(k=1.2,…),则对任意正数E,恒成立 X4-∑E(A)<E}=1 (52.2) 定理52称为契比雪夫 Chebyshev大数定律 利用引理证明契比雪夫 Chebyshev大数定律。 (7)注意到上述定理的全部条件实际上是为了保证下述的 Markov条件成立 所以我们又可以得到更为一般的马尔可夫(Mkov)大数定律:若随机变量序列{Xxn}满 足 Markov条件,则公式(522)成立。这里甚至不要求随机变量序列的相互独立性。 (8)定理52记nA为n次重复独立的试验中事件A发生的次数,p为事件A在每次试 验中发生的概率,则对任意正数E,恒成立 lim Pllna-pkke=l (52.3) 定理522称为贝努利( Bernoul大数定律 (9).定理52.3设随机变量X1X2,…Xn,…相互独立,服从同一分布,且 E(XA)=,(k=1,2,…),则对任意正数E,恒有 lim p XK (524) 定理523称为辛钦大数定律 (10).大数定律运用。 例522若x1,x2…x,相互独立且与X具有相同的分布,并有E(x)=4,试证 Ak ISak
g(X Y ) g(a b) P n n , ⎯→ , 。 （4）.（重要）引理 5.2.1 对于任何具有有限方差的随机变量 X 及任意正数 恒成立 2 ( ) ( ) D X P X − E X （5.2.1） 公式（5.2.1）称为契比雪夫（Chebyshev）不等式。 （5）.利用引理的例子： 例 5.2.1 证明：当 D(X) = 0 时， PX = E(X )= 1 。 （6）定理 5.2.1 设随机变量 X1 , X 2 , , X n , 相互独立，具有有限方差，且存在常数 C 使 得 D(X ) C,(k =1,2, ) k ，则对任意正数 ，恒成立 ( ) 1 1 1 lim 1 1 = − = = → n k k n k k n E X n X n P （5.2.2） 定理 5.2.1 称为契比雪夫 Chebyshev 大数定律。 利用引理证明契比雪夫 Chebyshev 大数定律。 （7）注意到上述定理的全部条件实际上是为了保证下述的 Markov 条件成立 0 1 1 2 → = n k D Xk n 所以我们又可以得到更为一般的马尔可夫（Markov）大数定律：若随机变量序列 X n 满 足 Markov 条件，则公式（5.2.2）成立。这里甚至不要求随机变量序列的相互独立性。 （8）.定理 5.2.2 记 A n 为 n 次重复独立的试验中事件 A 发生的次数， p 为事件 A 在每次试 验中发生的概率，则对任意正数 ，恒成立 lim =1 − → p n n P A n （5.2.3） 定理 5.2.2 称为贝努利(Bernoulli)大数定律。 （9）. 定理 5.2.3 设随机变量 X1 , X 2 , , X n , 相互独立，服从同一分布，且 E(X k ) = , (k =1,2, ) ，则对任意正数 ，恒有 1 1 lim 1 = − = → n k k n X n P （5.2.4） 定理 5.2.3 称为辛钦大数定律。 （10）.大数定律运用。 例 5.2.2 若 X X Xn , , , 1 2 相互独立且与 X 具有相同的分布，并有 ( ) k k E X = ，试证 ( ) ( ) k P k k P n i k k Xi g A A A g n A , , , , , , , 1 1 2 1 2 1 = ⎯→ ⎯→ =
(三)总结及扩展 结合教材内容要适当补充例题及课堂练习巩固本次课所学内容,并注意概念的教学启发学 生理解概念,运用有关概念及定理解决问题,本次课教学有一定难度。详见教学课件 (四)布置作业:第5章习题 七、板书设计 定义1 定理1 定义2. 引理 定理2 定理3 例1 例题 课堂训练 总结 布置作业 第三节中心极限定理 教学目的要求 1掌握中心极限定理的概念 2.掌握 Lindeberg-Levy中心极限定理(5.3.1) 3.了解李雅普诺夫中心极限定理.(53.2) 4掌握德莫佛—拉普拉斯中心极限定理(5.3.3) 5会运用定理解决有关问题 教学方法 讲授法:定义5.3.1、定理5.3.1、定理5.3.2 演绎法:定理5.3.3、例1、例4 案例法:保险案例例2 三、重点难点 重点:三个极限定理的内容。 难点:极限定理的运用。 四、课时安排:2课时 五、教具准备:多媒体 六、教学步骤 (一)明确目标:明确极限定理的内容及使用条件,注意和实际问题的结合,重
（三）.总结及扩展 结合教材内容要适当补充例题及课堂练习巩固本次课所学内容，并注意概念的教学启发学 生理解概念，运用有关概念及定理解决问题，本次课教学有一定难度。详见教学课件。 （四）布置作业：第 5 章习题 七、板书设计 第三节 中心极限定理 一、教学目的要求 1.掌握中心极限定理的概念 2. 掌握 Lindeberg-Levy 中心极限定理（5.3.1） 3.了解李雅普诺夫中心极限定理.（5.3.2） 4.掌握德莫佛—拉普拉斯中心极限定理（5.3.3） 5.会运用定理解决有关问题。 二、教学方法： 讲授法：定义 5.3.1、定理 5.3.1、定理 5.3.2 演绎法：定理 5.3.3、例 1、例 4 案例法：保险案例例 2 三、重点难点： 重点：三个极限定理的内容。 难点：极限定理的运用。 四、课时安排：2 课时 五、教具准备：多媒体 六、教学步骤 （一）明确目标：明确极限定理的内容及使用条件，注意和实际问题的结合，重 定义 1 定义 2. 引理 例 1 定理 1 定理 2 定理 3 例题 课堂训练 总结 布置作业
点掌握定理5.31、53.3 (二)教学过程教学内容: 1复习大数定律引入中心极限定理 (1)中心极限定理的概念: X-EC∑x) 定义53.1若独立随机变量序列X1,X2,…,Xn,…的标准化和yn= 使得 D∑x lim P(Y, sx)2=,e恒成立,则称随机变量序列,}服从中心极限定理( The Central Limit theoren)。 (2)定理531设随机变量X1,X2…Xn,…相互独立,服从同一分布,且具有数学期望 和方差:E(X4)=pD(XA)=a2≠0,(k=12,…), X E 记Yn= 则恒成立 ∑X Pf, sx)=oe (53.1) 定理531称为林德贝格—勒维 lindeberg-levy)中心极限定理,也称为独立同分布的 中心极限定理 证明略。 (3)例531在数值计算中,任何实数x都只能用一定位数的有限小数y来近似,这就产 生了一个误差z=x-y。假定每个数都按四舍五入的方法保留到十进制小数点后5位,则相 应的舍入误差可以看作是[05×10-05×10-1]上的均匀分布。若将100数x相加,试 估计所有这些数和的误差 (4)定理532设随机变量X13X2,…,Xn…相互独立,且 X1-E(∑X) E(X)=4,D(X4)=a2,(k=1.2…),记Zn=2,B2=∑a2, ∑x) 若存在6>0,使得当n→时,∑Ex,-A→0,则恒成立 limp(z,sx=oe=dt (53.2)
点掌握定理 5.3.1、5.3.3 （二）教学过程教学内容： 1.复习大数定律引入中心极限定理 （1）.中心极限定理的概念： 定义 5.3.1 若独立随机变量序列 X1 , X 2 , , X n , 的标准化和 ( ) ( ) 1 1 1 = = = − = n i i n i n i i i n D X X E X Y 使得 − − → = x t n n P Y x e dt 2 2 2 1 lim 恒成立，则称随机变量序列 Yn 服从中心极限定理（The Central Limit Theorem）。 （2）.定理 5.3.1 设随机变量 X1 , X 2 , , X n , 相互独立，服从同一分布，且具有数学期望 和方差： ( ) , ( ) 0 2 E Xk = D Xk = ，(k =1,2, ) ， 记 n X n D X X E X Y n k k n k k n k k n k k n − = − = = = = = 1 1 1 1 ，则恒成立 − − → = x t P Yn x e dt 2 n 2 2 1 lim （5.3.1） 定理 5.3.1 称为林德贝格——勒维(Lindeberg-Levy)中心极限定理，也称为独立同分布的 中心极限定理。 证明略。 （3）.例 5.3.1 在数值计算中，任何实数 x 都只能用一定位数的有限小数 y 来近似，这就产 生了一个误差 z = x − y 。假定每个数都按四舍五入的方法保留到十进制小数点后 5 位，则相 应的舍入误差可以看作是 5 5 0.5 10 ,0.5 10 − − − 上的均匀分布。若将 10000 个数 i x 相加，试 估计所有这些数和的误差。 （4）.定理 5.3.2 设随机变量 X1 , X 2 , , X n , 相互独立，且 ( ) , ( ) ,( 1,2, ) E Xk = k D Xk = k 2 k = ，记 ( ) ( ) 1 1 1 = = = − = n i i n i n i i i n D X X E X Z ， = = n k Bn k 1 2 2 ， 若存在 0 ，使得当 n → 时， = + + − → n k k k n E X B 1 2 2 0 1 ，则恒成立 − − → = x t P Zn x e dt 2 n 2 2 1 lim （5.3.2）
定理532称为李雅普诺夫( Liapunov)中心极限定理 证明略。 (5)定理533若{}是随机变量序列,且n4~B(n,P), (n=12…),记5n=,一,则恒成立 √mp(1-p) lmP≤x}= dt (53.3) 定理533称为德莫 佛拉普拉斯( De Moivre-Laplace)中心极限定理 要求会应用 Lindeberg-lewy中心极限定理证明。 (6).注意两种极限过程:泊松分布虽然是作为二项分布的极限分布而引入的,但极限过程 是 n→∞ ,而现在所说的“二项分布的极限分布是正态分布”这一结论涉及的极限过 npn→ n→0 程是 p是常数 (7).(案例)例5.3.3在一家保险公司里有1000人参加人寿保险,每人每年交保费12 元,假定一年内一个人意外死亡的概率为0006,死亡时其家属可向保险公司索赔1000元, 问: (1)保险公司亏本的概率有多大? (2)保险公司一年的利润不低于40000元的概率有多大? (8)例534某车间有同型号机床200台,每台开动的概率为07,假定各机床开动与否 是相互独立的,开动时每台机床耗电15个单位,问:最少要供应这个车间多少电能,才能 以不低于95%的概率保证不致因电力不足而影响生产 ).总结扩展 结合教材内容要适当补充例题及课堂练习巩固本次课所学内容,并注意概念的教学启发 学生理解概念,运用有关概念及定理解决问题,本次课教学有一定难度。详见教学课件。 (四)布置作业:第五章习题 七、板书设计
定理 5.3.2 称为李雅普诺夫（Liapunov）中心极限定理。 证明略。 （5）.定理 5.3.3 若 nA 是随机变量序列，且 n ~ B(n, p) A , (n =1,2, ) ，记 np(1 p) nA np n − − = ，则恒成立 − − → = x t P n x e dt 2 n 2 2 1 lim （5.3.3） 定理 5.3.3 称为德莫 佛 拉普拉斯(De Moivre-Laplace)中心极限定理。 要求会应用 Lindeberg-levy 中心极限定理证明 。 （6）.注意两种极限过程：泊松分布虽然是作为二项分布的极限分布而引入的，但极限过程 是： → → npn n ，而现在所说的“二项分布的极限分布是正态分布”这一结论涉及的极限过 程是： → p是常数 n 。 （7）.（案例） 例 5.3.3 在一家保险公司里有 10000 人参加人寿保险，每人每年交保费 12 元，假定一年内一个人意外死亡的概率为 0.006，死亡时其家属可向保险公司索赔 1000 元， 问： （1）保险公司亏本的概率有多大？ （2）保险公司一年的利润不低于 40000 元的概率有多大？ （8）.例 5.3.4 某车间有同型号机床 200 台，每台开动的概率为 0.7，假定各机床开动与否 是相互独立的，开动时每台机床耗电 15 个单位，问：最少要供应这个车间多少电能，才能 以不低于 95%的概率保证不致因电力不足而影响生产。 （三）. 总结扩展 结合教材内容要适当补充例题及课堂练习巩固本次课所学内容，并注意概念的教学启发 学生理解概念，运用有关概念及定理解决问题，本次课教学有一定难度。详见教学课件。 （四）.布置作业：第五章习题 七、板书设计 n