为函数的第一类不可去间断点， 习题1-9 3.求下列极限： ()1imV2-2.x+5; (2)1in（sin2x': ((co2z) 画7 x )m5r-4-E x-1 (⑥lim sin-sina x-a (7)lim(). 解：()因为函数f(x)=V2-2x+5是初等函数，fx)在点x=0有定义，所 以 1mV2-2x+5=j0)=0-2.0+5=5, (2)因为函数f)=(sin2x是初等函数，f)在点x=平有定义，所以 im(6m2'=f学=(sin2.=1, (6)因为函数f)=l(2cos2x)是初等函数，fe)在点x-有定义，所以 ling ln(2cos2)(In(2cos.0. g1g x(x+1+1) -i月 1 1
6=5=n5子-Kw5 x-1 (x-10(5x-4+V) 4x-4 =四x-W5x-4+V石i5x-4+E51-4+万-2 2cos+0sin￥=a 2 x-a x-a 2 ())-lim (x2+x+vx-x) 2 =1 4.求下列极限 (（1)lime*; amn 3)m+月 (4)1im(1+3tan2x)r; =授元： oem-4 xv+sin2x-x 解：()mc-e-e=l ()n0. )im+=im[a+yj京=e-e
(④iml+3tan2x)e=lim[+3am2x)了=e. 9.5=0+。,因% lim(+ 所以一特=e (in onin) xv1+sin2 x-x x(v1+sin2x-1)(1+tanx+v1+sinx) 回 2=im 习题1-10 2.证明方程x-3x=1至少有一个根介于1和2之间 证明：设f(x)=x-3x-1,则fx)是闭区间，2]上的连续函数. 因为f0①)=-3，f2)=25,ff(2)<0,所以由零点定理，在0,2)内至少有 点50<5<2)，使f(⑤)=0，即x=5是方程x3-3x=1的介于1和2之间的根 因此方程x-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 3.证明方程x=asinx+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根，并且它不超 过a+b, 证明：设f(x)=asinx+b-x,则f(x)是[0，a+b]上的连续函数. f(O)=b.f(a+b)=asin(a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]50. 若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=asinx+b的一个不超过a+b的 根； 若f(a+b)<0,则fO)f(a+b)<0,由零点定理，至少存在一点5∈(0，a+b) 使f()=0,这说明x=5也是方程x=asinx+b的一个不超过a+b的根。 总之，方程x=asinx+b至少有一个正根，并且它不超过a+b
5.若f()在[a,b]上连续，a<x<x,<<x,<b(m≥3)，则在(x,x)内至少 有一点5，使 f=6)+/,+·+f) n 证明：显然fx)在[x,x,]上也连续.设M和m分别是fx)在[x,x,]上的最 大值和最小值. 因为x∈：，x,]≤i≤m,所以有m≤fx)≤M,从而有 nm≤f(x)+f()+···+f(x)≤M, msx+f)t·+f2sM n 由介值定理推论在，x,]上至少有一点气，使 f传)=)+f+·+f 总习题一 1.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空 格内： ()数列{化，}有界是数列{x,!收敛的 _条件.数列{化}收敛是数列{x} 有界的的条件. (2)f(x)在x,的某一去心邻域内有界是imf(x)存在的条件 mf)存在是f)在x,的某一去心邻域内有界的条件. (③)f()在x的某一去心邻域内无界是1imfx)=o的条件 Iimf(x)=o是fx)在x的某一去心邻域内无界的条件. (④f)当x→x时的右极限f)及左极限f(G)都存在且相等是mf) 存在的条件. 解：()必要，充分. (2)必要，充分 (3)必要，充分
(④)充分必要 5.设 0x≤0 o-c 求f几f(xg[g(xl,f几g(xl,gf(xl. 解：因为fx)≥0，所以ffx】=f(x)= 0x≤0 xx>0' 因为g(e)≤0，所以g[g(x]=0: 因为g(x)≤0，所以f几g(x]=0: 因为)2≥0，所以gx=-了产)=0.0 7.把半径为R的一圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后围成 无底圆锥.试将这圆锥的体积表为α的函数. 解：设围成的圆锥的底半径为r,高为，依题意有 R(2w-a)=2mr.rR(2z-a) 2 h-_RCs am-a 42 2 圆锥的体积为 v-ja 4x2 2π =24n2r-a4na-a0<a<2a) R 9.求下列极限： g (2)lim): 6=