第三章微分中值定理与导数的应用 第一节微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 泰勒公式 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 第五节 函数的极值与最大值最小值 第六节 函数图形的描绘 第七节 曲率 2012-3-29 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室 1
第一节微分中值定理 (The Mean Value Theorem) 问题的提出 二 微分中值定理 1费马(Fermat)引理 2罗尔(Rolle)定理 3拉格朗日(Lagrange)中值定理 4柯西(Cauchy)中值定理 三小结与思考判断题 2012329 素山医学院信息工程学院高等数学教研室
一 问题的提出(Introduction) 我们知道，导数是刻划函数在一点处变化率 的数学模型，它反映的是函数在一点处的局部变 化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要 把握函数在某区间上的整体变化性态，那么函数 的整体变化性态与局部变化性态有何关系呢？中 值定理正是对这一问题的理论诠释。 中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该 区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既 是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又 是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室 3
二微分中值定理The Mean Value Theorem) 微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理，费马引理是它的预备定理，罗尔定理 是它的特例，柯西定理是它的推广。 1预备定理一费马(Fermat)定理 设函数f(x)在点x的某邻域U(x)内有定义， 且在x,可导，若对x∈U(x),有f(x)≤f(x) (或f(x)≥f(x),则f'(x)=0. 费马(Fermat,1601-1665),法国人，与笛卡尔 共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著于世。 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
证明：不妨设x∈U(x)时，f(x)≤f(x),于是对于 x,+△xeU(x),有f(x+A)≤f(x) 当Ax>0时，f+A)-f,2≤0店 △x 当△x<0时f,+a)-fx,≥； △x 根据函数∫田在x,可导的条件，极限的保号性，便得到 )=)=lim +Ax)-0 △r-→0 )()lim(+Ax)-f( △r→0 所以'(x)=0 2012329 素山医学院信息工程学院高等数学教研室