第一章函数与极限疑难题解答 习题1-1 17.已知水渠的横断面为等腰梯形斜角9=40°（图1-22），.当过水断面 ABCD的面积为定值S。时求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关 系式并说明定义域。 解 46=C=n0又从i8c+(8c+240-h1=得 h Bc=务-co40h所以 -2" D 自变量h的取值范围应由不 等式组 h>0号-cot40,h>0 确定定义域为0<h<VS。cot40 图1-22 18.收敛音机每台售价为90元，成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购， 决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为 每台75元. (I)将每台的实际售价P表示为订购量x的函数： (2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数： (3)某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？ 解(1)当0≤x≤100时，p=90. 令0.01(x。-100)=90-75,得x=1600,因此当x≥1600时，p=75. 当100<x<1600时，p=90-(x-100)×0.01=91-0.01x 综合上述结果得到 190 0≤x≤100 p=91-0.01x100<x<1600 75 x21600
30x 0≤x≤100 (2)P=(p-60)x=31x-0.01x2100<x<1600 15x x21600 (3)P=31×1000-0.01×1000=21000(元). 习题1-2 5.设数列化，}有米，又im以，=0，证明：imx,以，=0. 证明：因为数列{化n}有养，所以存在M,使Vn∈Z,有x<M 又m%=0,所以e>3NeN,当n>N时，有水行从而当m>N 时，有 1xX-0Hxx长Mly.kM6, 所以1imxy.=0. 习题1-2 4.求f)=三()=当x→0时的左、右极限，并说明它们在x→0 时的极限是否存在 证明因为 m网=m三m1 m6)=m支m1=1, imf树=gf), 所以极限imfc)存在。 因为 m=m足=m=-1 ▣=9其- lim()≠limp(x), 所以极限imp()不行在 5.根据函数极限的定义证明：
竖 @=爱-0 0分，紧安亦签，题 本，即中应 证别因为v≥0，议“方当时x酰有到是k6,所以 签 回分折：1罗-0六要粤-0k,只须<6，脚 证明：因为ve>0,球=京，当X时，有利-0k,所以 -0 8当x时品1间x等于多少俊当X 时，y-<0.01? 解要侧号}1与01，只心0=6网.X-丽 习题14 6.函数y=XCOSx在(o,+0)内是否有界？这个函数是否为当x→+o时 的无穷大？为什么？ 解：函数y=xCOSx在(-o,+oo)内无界
这是因为VM>0,在(-0，+0)内总能找到这样的x,使得y(x>M.例如： y(2kπ)=2kπcos2kπ=2kπ(k=0,1,2.2 当k充分大时，就有y(2kπ>M. 当x→+0时，函数y=xcosx不是无穷大， 这是因为VM>0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的x,都有 y(x>M.例如： 2r+受-2r+受co2kr+-0k=L2小 对任何大的N,当k充分大时，总有x=2x+行>N,但b(=0<M。 正函致一n在区间Q上无%，这画数不是当x→0时的无 穷大 正引函数y=如在区同@，】上无界，这是因为 M>0,在(0，]中总可以找到点x,使(x)>M.例如当 -2 1 时，有 )=2+号 当k充分大时，(x)>M 当x)0时函数)加不是无穷大这是因为 M>0,对所有的6>0，总可以找到这样的点：，使0<x<8,但 (x)<M.例如可取 62攻短k=02 当k充分大时，x<8,但y(x)=2kπsin2kπ=0<M, 习题1-5 4.设a,c,}均为非负数列，且ima,=0,im6,=limc,=.下列陈
述中哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由，如果是错的，试给出 一个反例. (1)a,<b,nEN'; (2)bn<c,n∈N*; (3)lima.cn不存在： (4)limb.cn不存在 解0维例：a=eN 回盖例如：6=6，=neN )错，例如：a=京，=mneN； （④对，因为，假若血6c)布在，则mim6c小典。也布在，与尼 知条件矛盾. 习题1-6 4.利用极限存在准则证明： ②叫+an+2t4nn)l 证明：因为 1 1 2 n#nann+r+2a n n 而 +L.+元1，所以 1 1 mn+++2+ n-1. 3数列5,2+5，V2+2+万，的极限存在 证明：名=反，x1=2+元=12,3