第九章多元函数微分法及其应用作业题详解 习题9-1 1、判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分 别指出它们的聚点所成的点集（称为导集）和边界 (1){x,yx≠0y≠0： 解：开集，无界集，导集为R己，边界为{(x,yx=0或y=0} (2){x,y1<x+y2≤4}： 解：既非开集，又非闭集，有界集，导集为{(x,y1≤x2+y2≤4， 边界为{(xx+y2=1或2+y2=4 (3){x,yy>x}: 解：开集，区域，无界集，导集为{x,y之x},边界为{x,yy=} (4){x,yx2+心-1)2≥1}n{x,yx2+0y-22≤4 解：闭集，有界集，导集与集合本身相同， 边界为{xyx2+0y-1)2=1U{x,yx2+0-22=4 2、已知函数fx)=x+少-wan三，试求fc,). 解：fw=f+o-o-m =r2x+y2-xytan=r产fk,吵. 3、试证函数F(x,y)=nxny满足关系式： F(y,w)=F(x,0+F(x,)+Fy,0+F,) 证明：F(y,w)=n(y)-ln(w) =(Inx+Iny)(Inu+Inv) Inx.Inw+Inx-Inv+Iny.Inu+In y-Iny
=F(x,0+F(x,)+F,0)+FG,) 4、已知函数f(u,yw)=H+w",试求f(x+y,x-y,y). 解：f(x+,x-y,y)=(c+y)严+(y)列 =(x+y)”+(y)2 5、求下列各函数的定义域： (1)z=lny2-2x+10: 解：要使函数有意义，必须y2-2x+1>0, 故函数的定义域为D=《x,y2-2x+1>0} 2)+- 解：要使函数有意义，必须x+y>0,x-y>0, 故函数的定义域为D=《x,yr+y>0,x-y>0. (3)z=V- 解：要使函数有意义，必须y≥0，x-√F20即x2√，于是有x≥0且 x2≥y,故函数定义域为D={(xyx≥0，y≥0，x2≥y 4④z=nv-)+-x-y 解：要使函数有意义，必须y-x>0,x≥0,1-x2-y2>0, 故函数的定义域为D=《x,yy-x>0,x≥0，x2+y2<1 6)=-F+++-R>r0: 解：要使函数有意义，必须2-x2-y2-z2≥0 且x2+y2+z2-r2>0, 故函数的定义域为D={(x,y,zr2<x2+y2+z2≤R}
(6)uarcos 解：要使函数有意义，必须x2+y2≠0且 F+1,即s+,故 函数定义域为D={(x八，zz2≤x2+y2,x2+y2≠0. 习题92 1、求下列函数的偏导数 (1)z=x'y-y'x: 解会-y-八客-r-3 (2)=+2 u: (3)z=√n(y): k会6m-2可 1 同理袋-2网 1 (4)z=sin(xy)+cos2(x); 解，会-cay42 =Mcos(y)-sin(2.xy】] 根据对称性可知 等-cow-n2o1 (5》z=lham号
yyyy 2-1 (6)z=(1+xyy: 解会0*y=少0*y 等-8司 =0+y0+ (7)u=x: 解 (8)u=arctan(x-y): 解：0x- x1+(x-y)2 0-2-y)- y1+(K-y)1 ou (x-y)In(x-y) 1+(-y)2
班因%哥有g-g 8Vg 所以 0 跳周为会沙之容的 所以 设/c,羽=x+-)arcsin臣，求fK 解：因为c)=x+0-arcsin后=. 所以化-点= 4在点(2,4,5)处的切线与正向x轴所成的倾角是多少？ y=4 解：空-2xx2 4交xle4的=l=ana, 故a= 习题9-3 1、求下列函数的全微分： 解：-+=0++6e当w (2)z=e: 解：止在+等布=当+ew