彭 案 姓名刘照军 2008~2009学年第二学期 时间2009-5-12节次5-6 2008信息管理与信息系统本科 课程名称 高等数学 授课专业及层次 1班 授课内容 对弧长的曲线积分 学时数 2 教学目的 掌握对弧长的曲线积分的定义及性质，会计算方法 重点 对弧长的定义及计算方法 难点 计算方法 自学内容 无 使用教具 多媒体 相关学科知识 一元函数微积分、微元素法、平面曲线积分的计算 教学法 启发式 讲授内容纲要、要求及时间分配 授课内容 第十一章曲线积分与曲面积分 第一节对弧长的曲线积分 、对坐标的曲线积分的概念与性质 导入：变力沿曲线所作的功 5分钟 1,定义：设L为x0y面内一条光滑曲线弧，函数f(x,y)在L上有界，用L上的点 15分钟 M1,M2,.M把L分成n个小段，设第i个小段的长度为△s,又(5,4)第i个 小段上任意取定的一点，做乘积f)A,并作和5，)小△，如界 当各小弧段长度的最大值1→0时，这和的极限存在，则称此极限为函数f(x,y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作∫x,)d还，即 .ym 3、存在条件 5分钟 当f(x,)在光滑曲线弧L上连续时，对弧长的曲线积分[∫x,y)小存在
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 4.推广：函数f(x,少，)在空间曲线弧Γ对项长的曲线积分[f(x,y,z)d水 5分钟 5分钟 注意：1)∫fx,y)d=「fx,)ds+「fx,y)d. 2)函数f(x,y)在闭曲线弧L上对弧长的曲线积分为dfx,y)d本 .性质(1)[f(x,y)±g(x,y〗=f(x,y)±Lg(x,y) 5分钟 (2)∫对(x)达=k∫f(xy)(k为常数) )fc,d=[fx杰+[fk)d 10分钟 、对弧长的曲线积分的计算方法 设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续 ,L的参数 方程为r=0 {=a≤1≤A)其中p0以0作a1 具有一阶连续导数·则 [f(x.y)ds =[fo().v((+y (d,(a<B) 三、应用 例1计算L√s,其中L是抛物线y=x2的上点O(0,0)与B(1,1)一段。5分钟 例2求1=∫gk,L:椭圆F=acos1第1象限 5分钟 y=bsin f. 例3、求1=∫，其中L:y2=4x,从(1,2)到1，-2)一段. 10分钟 例4求=[xyzds其中r:x=acos0,y=asim0,z=k0的一段0≤0≤2m)10分钟 例5、计算半径为R中心角为2a的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量(4=). 10分钟 四、小结 5分钟 1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用 五、作业CT11- 5分钟 3 3)4)6)7)8)
彭 案 姓名刘照军 2008~2009学年第二学期 时间2009-5-14节次5-6 2008信息管理与信息系统本科 课程名称 高等数学 授课专业及层次 1班 授课内容 对坐标的曲线积分 学时数 2 教学目的 掌握对坐标的曲线积分的定义及性质，会计算方法 重点 对弧长、坐标的曲线积分的定义及计算方法 难点 计算方法、两种曲线积分的关系 自学内容 无 使用教具 多媒体 相关学科知识 一元函数微积分、微元素法、平面曲线积分的计算 教学法 启发式 讲授内容纲要、要求及时间分配 授课内容 第十一章曲线积分与曲面积分 第二节对坐标的曲线积分 、对坐标的曲线积分的概念与性质 导入：变力沿曲线所作的功 5分钟 1定义： 设L为xy面内从点A到点B的一条有向光滑 10分钟 曲线弧，函数P(x,y),Q(x,y)在L上有界，用L上的 点M,(GM,(x,Mcy.)把L分成 n个有向小弧段M,M,(i=1,2,.,;M。=A,M。=B) 设△x,=x,-x,△y,=y,-y,点（传，n,)为M-M,上 任意取定的点如果当各小弧段长度的最大值1→0时 则称此极限为函数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分 类绕义类曲线积分），记作 0m典5gwM 2.存在条件： 5分钟 当P(x,),Q(x,y)在光滑曲线弧L上连续时，第一类曲线积分存在
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 3组合形式： 5分钟 ∫Px,y)k+∫0(xy)d=「P(x,y)+Qx,y)d =[F.ds. 其巾F=Pi+g,k=di+d. 5分钟 4推广： 空间有向曲线弧T∫Pk+Q小+Rd止 5.性质 5分钟 )如果把L分成L和L,则 「Pk+O=「Pk+gd+「Pdk+Od (2)设L是有向曲线弧-L是与L方向相反的有向曲线孤则 [,P(x.y)d+Q(x.y)dy=-[P(x.y)dx+Q(x.y)dy 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关 二、对坐标的曲线积分的计算方法 15分钟 定理：设P(x,y),Q(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程 为水二当参保到台线到点以u的怎点r 运动到终点B,p(),y)在以a及B为端点的闭区间上具有一阶连续 导数，且p)+y2)≠0，则曲线积分上P(x,y)k+Q(x,y)d存在， 「Px,y)dk+gx,y) =Po(D.v('(n)+ov('(dt 特殊情形 (1)L:y-y(x) (2)L:x=xy) x=0(1) (3)推广「：y=w,起点a,终点p. z=o1)
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 三、两类曲线积分之间的联系 1、关系：设有向平面曲线弧为L: x=0(t) y=w(0 15分钟 L上点(x,y)处的切线向量的方向角为a,B, 则Pk+0d=(Pcosa+QcosB)d函 其中 cosa= o') ,c0s= w') Vo2()+w20 Vp)+y2() 2、应用 例1计算[xvd,其中L为抛物线y2=x上从41，-1)到B1,1)的一段弧. 5分钟 计算[y2k,其巾L为 5分钟 例2)半径为a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周： (2)从点A(a,0)沿x轴到点B(-a,0)的直线段. 研究问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不 同？，何时相同？ 例3计算∫2xvdk+xdy,其中L为 5分钟 ①抛物线y=x2上从O0,0)到B1,1的一段弧： (2)抛物线x=y2上从00.0)到B1,1)的一段弧 (③)有向折线OAB,这里O,A,B依次是点(0.0) 5分钟 1.0,0,1). 研究问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果 相同？为什么？有规律吗？ 例4计算[xd+3zy2-x2dk,其中 是从点A(3,2,1) 5分钟 到点B(0,0,0)的直线AB 5分钟 四、小结 1、对坐标曲线积分的概念 2、对坐标曲线积分的计算 3、两类曲线积分之间的联系 5分钟 五、作业CT11-2 23 2) 4) 4 7