教案 姓名董塞晔 2010-2010学年第二学期 时间20114.山 节次12 课程名称高等数学授课专业及层次 2010缴应用物理学本科1班 授课内容 多元函数的基木概念 学时数 2学时 教学目的 了解平面点集知识：理解多元函数的概念、极限和连续性：会求二重 极限，判惭多元函数连续性 重 点 多元函数概念、极限和连续性 难 点 极限和连续性 自学内容 n维空间 使用教具 多媒体 相关学科知识 无 教学法 讲授，启发式教学 讲授内容纲要、要求及时间分配 复习：一元函数的基本概念 1.邻域、区间 2.函数定义、两要素 3.函数极限的：一5定义 4连续定义、性质 5分钟 第一节多元函数的基本概念 一、平面点集n维空间 L.平面点集E=xy圳(x,y)具有性质P. 5分钟 1.邻域：点P,的6邻域U(B,)={PP<6 2.点与点集之间的关系：(1)内点(2外点(3)边界点(4)聚点 3.区域：(1)开集(2)连通(3)边界（边界，记作E.)(4)有界点集10分钟 2n维宝间 (指出思路，学生课下自学) 5分钟 练习：习题911（讨论分析问题，指定学生回答） 二.多元函数概念（对比一元函数概念讲解） 1.实际问题：圆柱体体积：V=rh:并联线路电阻之和：R= RR, R+R 5分钟 2,定义：设D是R的一个非空子集，称映射：D→R为定义在D上的二元函数， z=f(x,y,Pxy)∈D D:定义域 x,y:自变量 10分钟 (结合一元与二元函数引导学生定义三元函数) [拓展]：兰元函数4=f(x,y,zbP(x,以，z)∈2
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 3.儿何意义：一张曲面（多媒体课件、投影） 10分钟 例：球面：x2+y2+z2=a2 练习：求二元函数的定义域：z=arccos(x2+y)√-x 三.多元函数的极限（重点讲解，强调与一元函数极限的区别）》 1.定义：如果在P(x,y)→P(x,)的过程中，对应的函数值f(x)无限接近于 个确定的常数A.则称A是函数fx,)当(，y)→(，)时的极限。 2定义(E-8定义)：对于()eD,V6,36,对于满足5分钟 0<PP=√c-x)2+y-y)2<6的一切点Px,)∈D都有 /(x,)-小<6成立，则称1imf(x,)=A(二重极限) 必须注意： (1)P沿特殊方式趋向P,函数无限接近定值不能确定极限： 5分钟 (2)P以不同方式趋向P,函数趋向不同值，则函数的极限不存在 例4设fc川(+)s如x本，求证mfc)=0. 5分钟 (引导学生分析，利用定义证明) 例5.函数f(x,y) 平，+广0在点00有无板限7 5分钟 0,x2+y2=0 (引导学生分析思路并解题) 例6求，丹，画型.（多元通数的根限运法班与元通黄的情汉类仪） 5分钟 练习：习题9-16(3) 四。多元函数的连续性 1.定义：若imf(x,y)=f(x,y。),则称函数z=f(x,y)在(x。,y。)连续 5分钟 2.几何意义：一张无孔隙无裂缝的连续曲面。 3性质：（对比 元连续函数在闭区间上的性质。 <1>(最大值与最小值定理)在有界闭区域D上的二元连续函数，在D上全少取5分钟 最大值和最小值各一次
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） <2>(介值定理)在有界闭区域D上的二元连续函数，如果在D上取得两个不同 的函数值，则全少在D上取得介于这两个值之间的任何值一次。若C是函数在D上的 介于M和面之间的一个数，则在D上全少有一点Q,使得f(Q)=C 5分钟 <3》有限个二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数 〈4>二元连续函数的复合函数也是连续函数 1.利用连续性求极限：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是 指包合在定义域内的区域或闭区域 7求兴 8分钟 8品可 五、课堂总结 本节讲授的多元函数概念、极限与连续的概念理论性强，概念繁杂，但与一元函数相 关概念一脉相承，讲解时使用对比类比的方法找出概念异同，加深理解。 2分钟 布置作业：习题9-15(2)(4)、6(4)(5)、7(1)
数 案 姓名董寒晔 2010201L学年第二学期 时间2011.412 节次3-4 课程名称 高等数学 授课专业及层次 2010级应用物理学本科1班 授课内容 偏导数 学时数 2学时 教学目的 理解偏导数的概念，会熟练求之 重 点 偏导数的概念，熟练计算 难 点 利用定义求偏导 自学内容 拉普拉斯方程 使用教具 多媒体 相关学科知识 物理知识 教学法 讲授，启发式教学法 讲授内容纲要、要求及时间分配 复习：一元函数导数的定义，高阶导数 5分钟 第二节偏导数 一、偏导数的定义及其计算法（重点讲解） 10分钟 fe小/h+Af2 园啡盟学战w 之偏导商数的定义式：化)=吗+△义心》 G川=m在+A型 5分钟 (引导学生推广到二元以上的函数) 例如：c巴+Ac飞园 3.计算：（根据定义，启发学生讨论，找出运算规律） 计你会计、把)看作誉量。而对x求导 5分 计学会时把（看作常兰，而对）求号 例1求z=x2+3y+y2在点(1,2)处的偏导数 5分钟
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 例2求z=x2sin2y的m导数. 5分钟 创3设：=6e>0x*.证多会+高-2z 5分钟 (详细讲解例1、例2，学生完成例3证明) 例4求r=Vx2+y2+z的偏导数 10分钟 =-1. (物理应用题，分析思路解题) 4.二元函数连续性与可导性的关系：即使各偏导数在某点都存在，也个能保证函10分钟 数在该点连续 5分钟 5.几何意义：（多媒体课件、投影讲解) 二、高阶偏导 I)定义：函数,y)的二阶偏导数： 忌复器k小导会高 10分钟 阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 6设少1装器器和器 5分钟 (详解本例，启发学生找出两个混合偏导的特点) (2)定：如果高敬消两个二片温合号强器及斋区选D内 连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等 10分钟 (利用上例验证定理) 练习：习题926(1) 5分钟 三、课堂总结： 加强对偏导数概念的理解，通过练习熟悉求偏导的方法。 5分钟 布置作业：习题9-21(4.5、6)、6(3)