(3)1im(2x3-x+. 解：im(2x2-x+1)=o(因为分子次数高于分母次数)， 3.计算下列极限： (sin 解：mrs血：0（当x→0时，r是无穷小，而是有界变量 (2)lim arctan 0 limarctan0(当K→o时，是无穷小，而 x 有界变量). 习题16 1.计算下列极限 解，-o-0 x ②gm3 解一 33co83x3 8学装 9号 (4)limxcotx; 解：mxco=sinco=sio=l 法2-g2-29-2 x2 (⑥1im2"”sin兰(x为不等于零的常数)
所照如导四吉 2.计算下列极限： (1)1im1-x)5g 解：m0-x-n+(←j向"-{mn+←g}'=e （2im1+2xy 解：m1+2xy=im1+2x)云2-[im1+2x)2了=e2. em生： 解：m+y-[ml+了=c2. (4)m-(k为正整数)，。 解：m-=m+yw=e 习题1-7 1.当x→0时2x-x2与x2-x相比哪一个是高阶无穷小？ x父=0， 款因为四云是妈 所以当x→0时x2-x2是高阶无穷小. 3.证明：当x→0时有： (1)arctanxx; asc-1号 正明：0烟为回-点，=1所以当x→0时cmx 2sin 烟为吧-回四爱 2s02= 2-limg( 3 2
所以当→0时碳1号 4.利用等价无穷小的性质求下列极限： 02 a吗为正数 ⑧ sin.x-tanx (④i+F-x+snx-) 解0四产荟 (1 n=m oo n<m 1 sin x(cosx 6m- -1) 1-cosx 12 limcos xsimimcos (4)因为 sinx-tanr=tanx(cos.-l)=-2 tan n2'5-2x(=-号x(x→0， +x-1= 0p产r0. 2 +-14+m→0 sinx -Ix 所以 sinx-tanx 一=-3 ++mx少-y 习题1-8 2.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形： x20≤x≤1 0f闭={2-x1<x≤2
②)f=-1srs1 1 k1 解：(1)已知多项式函数是连续函数，所以函数f(x)在[0,1)和(1,2]内是连续 的 在x=1处，因为f0=l,1imf)=limx2=L,limf(x)=lim(2-x)=1 所以1imf(x)=1,从而函数fx)在x=1处是连续的 综上所述，函数f(x)在[0,2]上是连续函数.图形略 (2)只需考察函数在x=-1和x=1处的连续性. 在x=-1处，因为f-)=-1,mf)=im1=1≠f八-》， imf(x)=imx=-1=f(-1),所以函数在x=-l处间断，但右连续。 在x=l,因为f0)=l,1imf)=limx=1=f0),imf(x)=lim1=1=f0), 所以函数在x=1处连续 综合上述讨论，函数在(0,1)和(10)内连续，在x=-1处间断，但右连 续.图形略。 3.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去 间断点，则补充或改变函数的定义使它连续： x2-1 0yx23x+2=lx=2 (②yxx=kx=kr+7k=0,士l2片 -61 x2-1_(x+10x-D 解：0一3x+2代-2X司·因为函数在=2和x=1处无定义，所 以x=2和x=1是函数的间断点
x2-1 因为g"=一3汇2西，所以x=2是函致的第二类同断点 因为四一一侣号之所以：美商数的第关斯点东粗是可去 间断点.在x=1处，令y=-2,则函数在x=1处成为连续的. (⊙函数在点x=ka化e和x=kr+受化e2)处无定义因而这些点都是 函数的间断点 因后a),故=标化0是第二类同断点 因为四. X=0keZ,所以x=0和x=kπ+keZ) 是第一类间断点且是可去间断点. 令儿。=1，则函数在x=0处成为连续的； 令x=kπ+时，y=0,则函数在x=kπ+处成为连续的。 (3)因为函数y=cos2在x=0处无定义，所以x=0是函数y=cos2号的间断点。 又因为mcos不行在，所以x=0是函数的第二类间断点. (4因为1mf()=m(x-)=0mf)=im(3-)=2,所以x=1是函数的 第一类不可去间断点. 1-x2n 4讨论函数)=m十。x的连续性，若有间断点。判别其类型. 1-x2 -x|x>1 解：fx)=m+x产x=1 0x=1 xx1 在分段点x=-l处，因为imf)=im(-)=1,1imf)=limx=-l, 所以x=-1为函数的第一类不可去间断点. 在分段点x=1处，因为mf)=mx=1,闭=←)=-山，所以x=