第一章函数与极限 习题1-1 4,求下列函数的自然定义域 (I)y=V3x+2 解由3x+20得x>子函数的定义城为[子+m 2)y=1- 解：由1-x2≠0得x≠士1.函数的定义域为(-，-1)U(-1,1)U(1,+oo) r=名- 解：由x≠0且1-x2≥0得函数的定义域为[-1,0U(0,]. ④y4- 解：由4-x2>0得函数的定义域为(-2,2). (5)y=sin; 解：由x≥0得函数的定义域为[0，+∞). (6)y=tan(x+1); 解：由x+1:受eZ)得函数的定义城为r≠kr+-1keZ。 (7)y=arcsin(x-3); 解：由k-3到≤1得函数的定义域为[-2,4. （Sy=VB-x+arctan 解：由3-x≥0且x≠0得函数的定义域为(-o,0U(0,3)]. (9)y=n(x+1): 解：由x+1>0得函数的定义域为[-1，+∞]. (10y=e
解：由x≠0得函数的定义域为(-c,0U(0,+o0). 6.设p(x)= m冰5哈原-导.程 数y=(x)的图形 9(-2)=0.图形略。 7,试证下列函数在指定区间内的单调性： 0y=x: (2)y=x+lnx,(0,+o). 证明(1)对于任意的x,x2∈(-0,1)，有1-x>0,1-X,>0.因为当x<x时， 为%产a00. 所以两数y一产在区间（←》内是单调带加的 (2)对于任意的x,2∈(0，+)，当x<x3时，有 -⅓=低+h)-伤+血)=G-)+h毫<0. 所以函数y=x+nx在区间(0，+o∞)内是单调增加的. 12.求下列函数的反函数 ()y=+: c ⑧y-培由-c0: (4y=2sin3x(←-sxs2: (5)y=1+ln(x+2):
解：()油y=x+1得x=y+1,所以y=x+1的反函数为y=x+1. a油用：号所以，臣的反商数为长 ,8女若培的反数为产 cy-a" (④由y=2sin3x得x=aresin号所以y=2sin3x的反函数为y=arcsin (5)由y=1+ln(x+2)得x=e-2,所以y=1+n(x+2)的反函数为 y=e-l-2. O曲得=晚产所以y的反西数为=吸云 14.在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这函数分别对应于 给定自变量值x和x,的函数值。 0y=,业=油2张名=若与=骨 因ymw=2x-爱子 (③)y=i.4=1+x,x=1x=2: (4)y=e,=x2,x=0,x2=1: (5)y=u2,u=e,x=l,x2=-l. 解0y如，n君-分-音%=如号-月 6)y=+x.y=+F=反.为=+2=5. (4)y=e%=e°-ly2=e'=e
(5)y=e,h=e2m=e2,y2=e2-=e2. 「1IxK1 16.设/x)={0k上1，g(x)=e.求f几g(x】和g[/x1并作出这两 -1 Ixp1 个函数的图形. II lekI (1x<0 解：几g(x={0e.即：几gx={0x=0 -1e'b1 -1x>0 [e IxkI e Ixk1 /(x=ew=e°x1.即：g/(x={1k1.图形略 习题1-2 1.下列各题中，那些数列收敛？那些数列发散？对收敛数列，通过观察{x,} 的变化趋势，写出它们的极限： 0x2 a=y 6x=2+ 司 (5)xn=n(-1)°： x m=n 8x收-旷+ 解0当m→时名分0，职子=0， ②当n→时=(y日0，回(-y日=0 当时品引品1品到
(⑤)当n→o时，x=n(-1)°发散 当→时号-)号0，▣号-0 0消味.怎=发敬 (阅当。→时，多=(-旷+片发散 2设数列的一复项k如 -.问Iimx。=?求出N,使当n>N时， x,与其极限之差的绝对值小于正数6，当6=0.001时，求出数N 解：limx,=0. 1k-0o@e受.V>0,要k.-0<,只婴6，也t是> n 取N=白，则vn>N,有k,-0<6 当c=0.01时，N==100 3.根据数列极限的定义证明： (m7=0: @- im原+a-l n (4)1im0.999··9=1 个 0分折：要他是-0是<6，只须广>即m>方 证到：因为v6>0V=方，当m>v时.有京-0K,所以疗=0