§2 标准型 !定义只含平方项的二次型 d,x2+d号+L+dnx (1) 称为二次型的一个标准形。 定理1数域P上的任意一个二次型都可以经 过非退化的线性变换变成平方和(1)的形 式。 证明 我们对变量的个数n作归纳法
§2标准型 l 定义只含平方项的二次型 （1） 称为二次型的一个标准形。 l 定理1数域P上的任意一个二次型都可以经 过非退化的线性变换变成平方和（1）的形 式。 l 证明我们对变量的个数n作归纳法
n对于n1,二次型就是f(x)=a1x 已经是平方和了，现假定对n-1元的二次 型，定理的结论成立，再设 f(x,x2,L ,x)=aa ayx:x; i=1 i=1 (ai=ai） n分三种情形来讨论：
n 对于n=1,二次型就是 已经是平方和了，现假定对n-1元的二次 型，定理的结论成立，再设 n 分三种情形来讨论：
n1)4,(i=l,2,L,n) 中至少 有一个不为率1例如 这时 12 x)=aa =2 n +a axa a axx i=2 =2j=2 =axi+2a axx,+aa dgxx; j=2 i=2j=2
n 1 ） 中至少 有一个不为零，例如 。 这时
n =an(+a aitax,)2-ail(a ax;) j=2 i=2 +aa arxixj =2j=2 n =an(x+a ailaux;)"+aa bxx i=2 i=2j=2
n这里 2 aa bxix,=-di(a ax;)+aa axx) i=2j=2 i=2 i=2=2 是七，x3,L,X1 的二次型。令 i y=x+a ai' j=2 三 X2 L L 1 X n
n 这里 是的二次型。令