n二次型的矩阵表示：令ai=aii<j n二次型(3)可以写成 f(x1,x2,L,xn）= au)a2x x2+L+ainx xn +a+d22x2+L+a2nx +Lamcn2x2+dmx n aa ayx xj i=1j=1
n 二次型的矩阵表示：令 n 二次型（3）可以写成 （5）
n二次型(5) 的矩阵： 28011 12 L g L A= az 02 2n÷ Y= t2÷ S L L L s M 0n2 L annB 。 A=A0 n二次型的矩阵表示式为 f(x,x2,L,x)=Xgx n二次型的矩阵表示式是唯一的
n 二次型（5）的矩阵： n 二次型的矩阵表示式为 n 二次型的矩阵表示式是唯一的
令 8C11 C12 L L C= CC21 C22 C2n Y= 9y2÷ FL L L L Cn2 L 则线性替换(4)的矩阵表示式为 C11 C12 L CIn S S ÷ gC21 C22 L C2n 9y2÷ M GL L L L 9 Cn2 L Cnn
n 令 则线性替换（4）的矩阵表示式为
或者 X-CY n二次型 ∫(x1,x2,L,xn)=X1X 作非退化线性替换X=CY f(x,x2,L ,x)=Xdx =YBY B=CMC n定义2数域P上的n×n矩阵A,B称为合同 的，如果有数域P上可逆的n×n矩阵C, 使B=CMC n1)反身性；2)对称性；3)传递性
或者X=CY n 二次型 作非退化线性替换X=CY n 定义2数域P上的n×n矩阵A,B称为合同 的，如果有数域P上可逆的n×n矩阵C， 使 n 1）反身性；2）对称性；3）传递性
n 因之，经过非退化的线性替换，新二次型的矩 阵与原二次型的矩阵是合同的。因此我们将二 次型的标准化变为矩阵的标准化问题。 n在变换二次型时，我们总是要求所作的线性替 换X=CY是非退化的。因为非退化的变换可以将 所得的二次型经逆变换 Y-CX 还原为原来的二次型。这样我们可以从所得的 二次型的性质可以推知原二次型的性质。 Back
n 因之，经过非退化的线性替换，新二次型的矩 阵与原二次型的矩阵是合同的。因此我们将二 次型的标准化变为矩阵的标准化问题。 n 在变换二次型时，我们总是要求所作的线性替 换X=CY是非退化的。因为非退化的变换可以将 所得的二次型经逆变换 还原为原来的二次型。这样我们可以从所得的 二次型的性质可以推知原二次型的性质。 Back