山东理工大学理学院备课纸 年月日 第三章线性方程组 S1消元法 一、线性方程组的有关定义： a1x1+a2x2+.+anxn=b 1.线性方程组 a1x+a2x3+.+Azn=b a1x+a2x+.+amxn=b 2.n 未知量的个数 方程的个数 3.系数，常数项。 4.方程的解，所有的解的全体称为解集合 5.同解方程组 例： ∫x+2x+3x=5 x+2x2+3x3=5 与 2x+3x2+6x=9 2x+3x+6x,=9是同解方程组 3x+5x2+9x=14 6.线性方程组的初等变换： (1)某一个方程乘以一个不为零的常数 (2)交换两个方程的位置 (3)一个方程加上另一个方程的倍数 把线性方程组化为同解方程组 第
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 第三章 线性方程组 §1 消元法 一、线性方程组的有关定义： 1．线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 2. n—— 未知量的个数 s —— 方程的个数 3. 系数， 常数项. 4. 方程的解，所有的解的全体称为解集合. 5. 同解方程组 例： 1 2 3 1 2 3 2 3 5 2 3 6 9 x x x x x x + + = + + = 与 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 5 2 3 6 9 3 5 9 14 x x x x x x x x x + + = + + = + + = 是同解方程组 6.线性方程组的初等变换： （1） 某一个方程乘以一个不为零的常数 （2） 交换两个方程的位置 （3） 一个方程加上另一个方程的倍数 把线性方程组化为同解方程组 第 1 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 二、高斯消元法： 目的是把方程组化为下面的同解的阶梯形方程组： G1x+G2x2+.+Gx,+.+Gnxn=d c2x2+.+Cx,+.+C2nxn=d2 cnx,+.+cmxn=d, 4=0 其中c,i=12.,r全不为零 0=0 0=0 1.如果d≠0，则方程组无解. [2x1-x2+3x=1 例1 4x-2x2+5x3=4 2x-为2+4x3=0 2.如果d,=0,在上面我们看到，只能出现r≤n,不会有r>m的情况 (1)r=n时方程组同解与下面的方程组： C1x+C2x3+.+Cnxn=d c如名++6。=4方程组有唯一解 Can=d 2x-x2+3x=1 例2 {4x+2x2+5x3=4 2x+x2+4x=5 第2页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 二、高斯消元法： 目的是把方程组化为下面的同解的阶梯形方程组： 11 1 12 2 1 1 1 22 2 1 2 2 1 0 0 0 0 0 r r n n r r n n rr r rn n r r c x c x c x c x d c x c x c x d c x c x d d + + + + + + = + + + + = + + = = = = 其中 , 1,2, , ii c i r = 全不为零 1. 如果 1 0 r d + ， 则方程组无解. 例 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 4 2 5 4 2 4 0 x x x x x x x x x − + = − + = − + = 2．如果 1 0 r d + = ，在上面我们看到， 只能出现 r n ，不会有 r n 的情况 （1） r n = 时 方程组同解与下面的方程组： 11 1 12 2 1 1 22 2 2 2 n n n n nn n n c x c x c x d c x c x d c x d + + + = + + = = 方程组有唯一解 例 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 4 2 5 4 2 4 5 x x x x x x x x x − + = + + = + + = 第 2 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 (2)r<n时，方程组同解与下面的方程组： G1x+C2X3+.+C,X,=d-Cx1-.-Cnxn Cx2++=d2 -carr-Ca Cn x,=d,-Crr-CmXs 右边任意给定x.,x一组数，我们就能得到，x的对应值，从而找到 方程组的一组解，所以方程组有无数个解. 2x-x2+3x=1 例3. 4x-2x2+5x=4 2x-x2+4x3=-1 三、齐次线性方程组 对于齐次线性方程组，我们有 a1x+a2x+.+anxn=0 定理：对于齐次线性方程组 a1x+aa++a.=0来讲，如果s<n, a1x+a22+.+anxn=0 那么它一定有非零解， 第
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 （2） r n 时，方程组同解与下面的方程组： 11 1 12 2 1 1 1 1 1 1 22 2 2 2 2 1 1 2 1 1 r r r r n n r r r r n n rr r r r r r rn n c x c x c x d c x c x c x c x d c x c x c x d c x c x + + + + + + + + + = − − − + + = − − − = − − − ， 右边任意给定 1 , , r n x x + 一组数，我们就能得到 1 , , r x x 的对应值，从而找到 方程组的一组解，所以方程组有无数个解. 例 3. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 4 2 5 4 2 4 1 x x x x x x x x x − + = − + = − + = − 三、齐次线性方程组 对于齐次线性方程组，我们有 定理：对于齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = 来讲， 如果 s n ， 那么它一定有非零解. 第 3 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 四、矩阵的有关定义 1.从上面的方程组求解来看，方程组是否有解，有多少解，与方程组的系数 有关，与未知量的表示符号无关，因此引入矩阵的定义 a1a2a3.an】 d2an3.ann 强调与行列式的不同. 2.矩阵的行初等变换： (1)某一行乘以一个不为零的常数 (2)交换两行的位置 (3)某一行加上另一行的倍数 比较行初等变换与方程组求解时的三种变换 3.用矩阵的表示法求解，例1,2,3. 第4页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 四、矩阵的有关定义 1．从上面的方程组求解来看， 方程组是否有解，有多少解，与方程组的系数 有关，与未知量的表示符号无关， 因此引入矩阵的定义 11 12 13 1 21 22 23 2 1 2 3 n n m m m mn a a a a a a a a A a a a a = 强调与行列式的不同. 2. 矩阵的行初等变换： （1）某一行乘以一个不为零的常数 （2）交换两行的位置 （3）某一行加上另一行的倍数 比较行初等变换与方程组求解时的三种变换 3. 用矩阵的表示法求解， 例 1， 2， 3. 第 4 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 §2n维向量空间 一、向量的有关定义： 1.行向量：所谓数域P上的一个n维向量，就是由数域P上的n个数 组成的有序数组(a,a,.,a),a,称为分量 2.两个向量相等 3.零向量 二、向量的运算： 1.向量的加法 2向量的数乘 3运算规律. 4向量空间 5列向量
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 §2 n 维向量空间 一、向量的有关定义： 1．行向量：所谓数域 P 上的一个 n 维向量，就是由数域 P 上的 n 个数 组成的有序数组 1 2 ( , , , ) n a a a ， i a 称为分量 2. 两个向量相等 3. 零向量 二、向量的运算： 1. 向量的加法. 2 向量的数乘 3 运算规律. 4 向量空间 5 列向量 第 5 页