山东理工大学理学院备课纸 年月日 预备知识 一、数的扩展 1.自然数N→整数Z→有理数Q→实数集R→复数集C 2.讨论它们对于运算+，-，×，+的封闭性 二、数域的定义： 1.定义：设PcC,且0,1eP,如果P中任意两个数（这两个数可以相等） 的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，则称P是一个数域 2.例1：N,Z不是数域，Q,RC是数域. 3.例2：Q2={a+b2a,beg}是-个数域。 4结论：有理数域是最小的数域 三、介绍附录中的符号 1.连加号∑ 例：1+2+n=2 2.连乘号Π 例：nl=i
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 预备知识 一、数的扩展： 1．自然数 N → 整数 Z → 有理数 Q → 实数集 R → 复数集 C 2．讨论它们对于运算 +，−，， 的封闭性 二、数域的定义： 1. 定义: 设 P C ，且 0,1 P ，如果 P 中任意两个数 (这两个数可以相等) 的和、差、积、商 (除数不为零) 仍然是 P 中的数，则称 P 是一个数域 . 2. 例 1:： N Z, 不是数域， Q R C , , 是数域. 3. 例 2： Q a b a b Q ( 2) 2 | , = + 是一个数域. 4 结论：有理数域是最小的数域 三、介绍附录中的符号 1. 连加号 例： 1 1 2 n i n i = + + + = 2. 连乘号 例： 1 ! n i n i = = 第 1 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 第二章行列式 §2排列 一、排列的定义： 1.n阶排列 2.顺序：任意两个数，小的在大数的前面，称为顺序.1,2.，n由小到大依次 排列，称为自然顺序排列， 3.逆序4.逆序数 5.如何计算逆序数tU,2.,) 6.奇排列，偶排列 7.对换 二、有关定理 1.定理1：对换改变排列的奇偶性 证明：(1)先看特殊情况，假设两个数相邻 .jk.→.k. 当<k时，在前面两者不构成逆序，在后面排列中构成逆序，因而 t(.k）=x(.jk)+1; 当>k时，在前面两者构成逆序，在后面排列中不构成逆序，因而 tt.kj.)=t.jk-1; 第2页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 第二章 行列式 §2 排列 一、排列的定义： 1. n 阶排列 2. 顺序：任意两个数，小的在大数的前面， 称为顺序.1, 2, , n 由小到大依次 排列， 称为自然顺序排列. 3. 逆序 4. 逆序数 5. 如何计算逆序数 1 2 ( , , , ) n j j j 6. 奇排列， 偶排列 7. 对换 二、有关定理 1. 定理 1：对换改变排列的奇偶性 证明：(1) 先看特殊情况，假设两个数相邻 j k → k j 当 j k 时，在前面两者不构成逆序，在后面排列中构成逆序，因而 ( ) ( ) 1 k j j k = + ； 当 j k 时，在前面两者构成逆序，在后面排列中不构成逆序，因而 ( ) ( ) 1 k j j k = − ； 第 2 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 综上两种情况，排列的奇偶性都发生了变化 (2)两个数不相邻 .jii2.1,k.→.k12.i,j. 分析：把了依次与后面的马.，对换，得到了.4马.，jk. 共对换了s次：把k依次向前对换，变成.k1,.,了.，共对换了s+1次 两者合起来，对换了2s+1次，排列的奇偶性发生变化， 2.推论：奇排列，偶排列个数相等，各占项 3.定理2：任意一个n阶排列都可以经过一系列的对换，化为自然顺序， 且对换次数的奇偶性与排列的奇偶性相同. 证明：用归纳法 1级排列只有一个，结论显然成立，假设结论对n-1级排列成立， 现在来证n级排列成立 (1)对于.j1n,如果n=n 么方.是奇（偶）排列一方h是奇（偶）排列 由归纳假设知，把方2化为自然顺序，对换次数是奇（偶）数 →把方.jn化为自然顺序，对换次数是奇（偶）数 (2)对于么方.，如果.≠m,人=n .,n是奇（偶）排列 →方方.nj方是偶（奇）排列 由(1)知把2.，.化为自然顺序，对换次数是偶（奇）数 第3页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 综上两种情况，排列的奇偶性都发生了变化. （2）两个数不相邻 1 2 s j i i i k → 1 2 s k i i i j 分析: 把 j 依次与后面的 1 2 s i i i 对换，得到了 1 2 s i i i j k ， 共对换了 s 次；把 k 依次向前对换，变成 1 2 s k i i i j ，共对换了 s +1 次. 两者合起来, 对换了 2 1 s + 次, 排列的奇偶性发生变化. 2. 推论：奇排列，偶排列个数相等， 各占 ! 2 n 项. 3. 定理 2：任意一个 n 阶排列都可以经过一系列的对换，化为自然顺序， 且对换次数的奇偶性与排列的奇偶性相同. 证明：用归纳法 1 级排列只有一个, 结论显然成立, 假设结论对 n −1 级排列成立， 现在来证 n 级排列成立 （1）对于 1 2 1 n n j j j j − ， 如果 n j n = 1 2 1 n n j j j j − 是奇（偶）排列 1 2 1 n j j j − 是奇（偶）排列 由归纳假设知，把 1 2 1 n j j j − 化为自然顺序，对换次数是奇（偶）数 把 1 2 1 n n j j j j − 化为自然顺序，对换次数是奇（偶）数 （2）对于 1 2 1 s n n j j j j j − ， 如果 n j n ， s j n = 1 2 1 s n n j j j j j − 是奇（偶）排列 1 2 1 n n s j j j j j − 是偶（奇）排列 由（1）知把 1 2 1 n n s j j j j j − 化为自然顺序，对换次数是偶（奇）数 第 3 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 一把元，.，.1。化为自然顺序，对换次数是奇（偶）数 第4页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 把 1 2 1 s n n j j j j j − 化为自然顺序，对换次数是奇（偶）数 第 4 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 S1二阶与三阶行列式 本节主要是阐述行列式的来源 一、二阶行列式与二元线性方程组 设二元线性方程组 a+a22=6 a2x+a252=62 当a1a2-a,a1≠0时，此方程组有唯一解，即 bazz-ab: a11a22-a12a21 验路 我们称aa2-a2a1为二阶行列式，用符号表示为 aa4女a 于是上述解可以用二阶行列式叙述为： 当二阶行列式 az az b an 时该方程组有唯一解，即g=色，号品，9-号 d 二、三阶行列试与三元线性方程组 对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组 aux +anx2 +anx,=b, a21x+a2x2+a233=b2 (ax+ax2 +ax3 =b3. 第5页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 §1 二阶与三阶行列式 本节主要是阐述行列式的来源 一、二阶行列式与二元线性方程组 设二元线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a x a x b a x a x b + = + = 当 a11a22 − a12a21 0 时，此方程组有唯一解，即 , . 11 22 12 21 11 2 12 1 2 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a a b a b x a a a a b a a b x − − = − − = 我们称 a11a22 − a12a21 为二阶行列式，用符号表示为 11 12 11 22 12 21 21 22 a a a a a a d a a − = = . 于是上述解可以用二阶行列式叙述为： 当二阶行列式 0 21 22 11 12 a a a a 时，该方程组有唯一解，即 1 12 11 1 2 22 21 2 1 2 1 2 , b a a b b a a b d d x x d d d d = = = = . 二、三阶行列式与三元线性方程组 对于三元线性方程组有相仿的结论. 设有三元线性方程组 + + = + + = + + = . , , 31 1 32 2 33 3 3 21 1 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 第 5 页