第一章§1数域 按照我们的教学计划，我们先介绍 数域的基本概念 G
第一章 §1 数域 按照我们的教学计划，我们先介绍 数域的基本概念 Go
§1数域 多项式是代数学中最基本的对象之一，它 不但与高等方程的讨论有关，而且在进一步 学习代数以及其它数学分支时也都会用到。 本章介绍多项式的基本知识。 数：自然数→整数→有理数→实数→复 数。 数的运算：加、减、乘、除。这些运算 性质称为代数性质。有理数、实数、复数对 这四种运算都是封闭的。有其它一些数集也 具有这样的性质，引入：
§1 数 域 多项式是代数学中最基本的对象之一，它 不但与高等方程的讨论有关，而且在进一步 学习代数以及其它数学分支时也都会用到。 本章介绍多项式的基本知识。 数：自然数→整数→有理数→实数→复 数。 数的运算：加、减、乘、除。这些运算 性质称为代数性质。有理数、实数、复数对 这四种运算都是封闭的。有其它一些数集也 具有这样的性质，引入：
定义二设P是由一些复数组成的集合 其中包括0和1，如果P中任意两个数 (这两个数也可以相同)的和、差、积、商 (除数不为零)仍然是P中的数，那么P 就称为一个数域。 有理数、实数、复数为数域，记为 Q(rational number)R (real number) C(complex number)。 例1所有具有形式a+b√2的数 (a,b是任意有理数)，构成一个数域。通 常用 Q(V2) 来表示这个数域
定义一 设 P 是由一些复数组成的集合， 其中包括 0 和 1 ，如果 P 中任意两个数 （这两个数也可以相同）的和、差、积、商 （除数不为零）仍然是 P 中的数，那么 P 就称为一个数域。 有理数、实数、复数为数域，记为 Q(rational number)、R（real number)、 C(complex number)。 例1 所有具有形式 的数 （a,b是任意有理数），构成一个数域。 通 常用 来表示这个数域。 a +b 2 Q( 2)
证明显然 Q(V2)包含0和1并且对于 加减法是封闭的。现在证明它对乘除 法也是封闭的。 (a+b/2)c+d2) =(ac+2bd)+(ad+be)2E0(v2) 设a+bV2≠0于是a-bN2 也不为 零，而 c+dv2 (c+d√2)(a-b√2) 圈 a+b2 (a+bV2)(a-b√2) ac-2bd ad-hcV2∈o(N2) 福 a2-2b2 a2-2b2
证明 显然 包含0和1并且对于 加减法是封闭的。现在证明它对乘除 法也是封闭的。 设 于是 也不为 零，而 Q( 2) ( 2 ) ( ) 2 ( 2) ( 2)( 2) ac bd ad bc Q a b c d = + + + + + a +b 2 0 a −b 2 2 ( 2) 2 2 2 ( 2)( 2) ( 2)( 2) 2 2 2 2 2 2 Q a b ad bc a b ac bd a b a b c d a b a b c d − − + − − = + − + − = + +
由上两式可以得出Q(√2)乘、除法也是封 闭的。 例2) 所有可以表成形式 0+a1π+.+anπ” bo十b,E+.+b元m 的数组成一数域，其中n,m为任薏非负整数， 是整数。 a,b(i=0,1,.,mj=0,1,.,1m)
由上两式可以得出 乘、除法也是封 闭的。 例2 所有可以表成形式 的数组成一数域，其中n,m为任意非负整数， 是整数。 Q( 2) m m n n b b b a a a + + + + + + 0 1 0 1 a ,b (i 0,1, ,n; j 0,1, ,m) i j = =