《高等代数》课程教学资源（习题解答，北大版）第五章 二次型

北大版《高等代数) 第五部分二次型习题精解 1.(【)用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果： 1)-4x1x2+2xx3+2x2x3 2)x2+2x1x2+2x3+4x2x3+4x 3)x2-3x-2xx2+2xx3-6x2x 4)8x1x4+2x3x4+2x2x3+8x2x4 5)x3+x3+x4+x23+x2x4+x 6)x2+2x+x+4xx2+4xx3+2xx4+2x2x3+2x2x4+2x3x 7)x+x+2x+2xx+2xX 解1)已知 fx1,x2,x3)=4xx2+2xx3+2x2x3 先作非退化线性替换 x1=片+y2 x2=y-3 (1) x3=3 则 fx1,x2,x3)=-4y2+4y+4yy3 =-4y2+4yy3-y3+y+4y3 =-(2%-⅓}++4好 再作非退化线性替换 1 1 y=21+23 =2 (2) h=3 则原二次型的标准形为 fx1,x2,x3)=-z+4z3+ 1

北大版《高等代数》 1 第五部分 二次型习题精解 1．（Ⅰ）用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果： 1） 4 1 2 2 1 3 2 2 3 − x x + x x + x x 2） 2 2 3 3 2 1 2 2 2 x1 + 2x x + 2x + 4x x + 4x 3） 1 2 1 3 2 3 2 2 2 x1 − 3x − 2x x + 2x x − 6x x 4） 8 1 4 2 3 4 2 2 3 8 2 4 x x + x x + x x + x x 5） 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 x x + x x + x x + x x + x x + x x 6） 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 2 4 2 2 2 x1 + 2x + x + 4x x + 4x x + 2x x + 2x x + 2x x + 2x x 7） 1 2 2 3 3 4 2 4 2 3 2 2 2 x1 + x + x + x + 2x x + 2x x + 2x x 解 1）已知 ( ) 1 2 3 4 1 2 2 1 3 2 2 3 f x , x , x = − x x + x x + x x 先作非退化线性替换      = = − = + 3 3 2 1 2 1 1 2 x y x y y x y y （1） 则 ( ) 1 3 2 2 2 f x1 , x2 , x3 = −4y1 + 4y + 4y y 2 2 2 3 2 1 3 3 2 = −4y1 + 4y y − y + y + 4y ( ) 2 2 2 3 3 = − 2y1 − y3 + y + 4y 再作非退化线性替换        = = = + 3 3 2 2 1 1 3 2 1 2 1 y z y z y z z （2） 则原二次型的标准形为 ( ) 2 3 2 2 2 f x1 , x2 , x3 = −z1 + 4z + z

北大版《高等代数》 最后将(2)代入(1)，可得非退化线性替换为 =++ (3) 3=53 于是相应的替换矩阵为 a”-2 -1 0001 且有 -100 TAT=0 4 0 (001 2)己知 fg1,x2,x3)=x+2xx2+2x+4x2x+4x 由配方法可得 fx,x2,x3)=(k+2xx2+x)+(+4xx+4x） =(x+x2尸+(x2+2x3月 于是可令 乃=x+x2 y2=x2+2x3 y3=x; 则原二次型的标准形为 f(x,x2,x3)=yi+yi 且非退化线性替换为 x=乃-+2 x2=2-2y x3=3 相应的替换矩阵为

北大版《高等代数》 2 最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为          = = − + = + + 3 3 2 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 x z x z z z x z z z （3） 于是相应的替换矩阵为                 = −                         = − 0 0 1 2 1 1 2 1 2 1 0 2 1 0 0 1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 T 且有          −  = 0 0 1 0 4 0 1 0 0 T AT 2）已知 f (x1 , x2 , x3 ) = 2 2 3 3 2 1 2 2 2 x1 + 2x x + 2x + 4x x + 4x 由配方法可得 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 2 1 2 2 2 f x1 , x2 , x3 = x1 + 2x x + x + x + 4x x + 4x ( ) ( ) 2 2 3 2 = x1 + x2 + x + 2x 于是可令      = = + = + 3 3 2 2 3 1 1 2 2 y x y x x y x x 则原二次型的标准形为 ( ) 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = y + y 且非退化线性替换为      = = − = − + 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 2 x y x y y x y y y 相应的替换矩阵为

北大版《高等代数》 1-12 T=01-2 (001 且有 100Y110Y1-12)100 TAT=-11012201-2=010 2 -21八024001000 (3)已知 x1,2,x）=x2-3x-2xx3+2x3-6x23 由配方法可得 fx,x2,x)=-2xx2+2xx3-2x2x3+x号+x)-(4x+4x2x3+x） =(k1-x2-x3-(2x2+x3 于是可令 =x-x2+3 {2=2x2+x3 y3=x3 则原二次型的标淮准形为 f,x2x）=-月 且非退化线性替换为 =+ =2为2为 x3= 相应的替换矩阵为 3 T= 1-20 21- 且有

北大版《高等代数》 3           − − = 0 0 1 0 1 2 1 1 2 T 且有           =           − −                     −  = − 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 2 1 1 2 0 2 4 1 2 2 1 1 0 2 2 1 1 1 0 1 0 0 T AT （3）已知 ( ) 1 2 1 3 2 3 2 2 2 f x1 , x2 , x3 = x1 − 3x − 2x x + 2x x − 6x x 由配方法可得 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 2 3 2 1 2 1 3 2 3 2 2 f x1 , x2 , x3 = x1 − 2x x + 2x x − 2x x + x + x − 4x + 4x x + x ( ) ( ) 2 2 3 2 = x1 − x2 − x3 − 2x + x 于是可令      = = + = − + 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 y x y x x y x x x 则原二次型的标准形为 ( ) 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = y − y 且非退化线性替换为          = = − = + − 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 x y x y y x y y y 相应的替换矩阵为                 − − = 0 0 1 2 1 2 1 0 2 3 2 1 1 T 且有

北大版《高等代数》 0Y1-11Y TAT 11-23-2 01212 100 0-1-3-3 0 -10 1 00 1 (4)已知 f,x2,x）=8xx2+2x34+2x23+8x2x 先作非退化线性替换 x=八+y4 X2=y2 x3=乃 x4=y4 f,x2,x3,x4)=8yy4+8y+2y4+2y2y+8y2y =州店+2传++传++安月 -假++-+⅓++2 再作非退化线性替换 y=21 2=52+ y3=2-3 y4=4 心小+++-2++ +2=-2Ξ 再令

北大版《高等代数》 4           = −                 − −           − − − − −                 − −  = 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 2 1 2 1 0 2 3 2 1 1 1 3 0 1 3 3 1 1 1 1 2 1 2 3 0 2 1 2 1 1 0 0 T AT （4）已知 ( ) 1 2 3 4 8 1 2 2 3 4 2 2 3 8 2 4 f x , x , x , x = x x + x x + x x + x x 先作非退化线性替换        = = = = + 4 4 3 3 2 2 1 1 4 x y x y x y x y y 则 ( ) 3 4 2 3 2 4 2 f x1 , x2 , x3 , x4 = 8y1 y4 + 8y4 + 2y y + 2y y + 8y y                + + +      = + + + 2 4 1 2 3 1 2 3 2 4 8 1 2 1 2 1 8 1 2 1 2 1 8 y 2y y y y y y y 2 3 2 1 2 3 2 8 1 2 1 2 1 8 y y y  + y y      − + + 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 4 2 4 1 2 8 1 2 1 2 1 8 y y y y y y y  + y y       − + +      = + + + 再作非退化线性替换        = = − = + = 4 4 3 2 3 2 2 3 1 1 y z y z z y z z y z 则 ( ) 2 1 2 3 2 1 2 3 4 1 2 3 4 4 3 4 5 2 8 3 8 5 2 1 , , , 8        − + +      f x x x x = z + z + z + z z z z 2 3 2 + 2z2 − 2z 再令

北大版《高等代数》 m=++子 w2=32 w3=53 则原二次型的标准形为 fk,x2x3,x4）=-2w2+2w-2w+8w 且非退化线性替换为 x2=02+w3 X:=1w,-1f 相应的替换矩阵为 53 T= 01 -10 - 001 且有 -2 00 0 020 0 0-2 0 0 00 (5)已知 f,2,x3,x4)=x2+3+xx4+x23+x2x4+X3x 先作非退化线性替换 x=2y+2 X:=y2 5= x4=y4 则 fx1,x2,x3,x4)=2%y2+y片+2yy1+22y1+2yy4+2y2y4+yy4

北大版《高等代数》 5          = + + + = = = + + 4 1 2 3 4 3 3 2 2 1 1 2 3 8 3 8 5 2 1 4 3 4 5 w z z z z w z w z w z x x 则原二次型的标准形为 ( ) 1 2 3 4 f x , x , x , x 2 4 2 3 2 2 2 = −2w1 + 2w − 2w + 8w 且非退化线性替换为          = − + = − = + = − − + 4 1 4 3 2 3 2 2 3 1 1 2 3 4 2 1 4 3 4 5 2 1 x w w x w w x w w x w w w w 相应的替换矩阵为                 − − − − = 0 0 1 2 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 4 3 4 5 2 1 T 且有               − −  = 0 0 0 8 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 0 T AT （5）已知 ( ) 1 2 3 4 f x , x , x , x 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 = x x + x x + x x + x x + x x + x x 先作非退化线性替换        = = = = + 4 4 3 3 2 2 1 2 1 2 x y x y x y x y y 则 ( ) 1 2 3 4 f x , x , x , x 1 3 2 3 1 4 2 4 3 4 2 = 2y1 y2 + y2 + 2y y + 2y y + 2y y + 2y y + y y