北大版《高等代数) 第二部分 行列式习题精解 1.求以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性 1)134782695: 2) 217986354: 987654321: 解：1)所求排列的逆序数为： x134782695)=0+1+1+3+3+0+1+1=10 所以此排列为偶排列 2)所求排列的逆序数为 x(217986354)=1+0+4+5+4+3+0+1=18 所以此排列为偶排列 3)所求排列的逆序数为： r087654321)=8+7+6+5+4+3+2+1=90-0=36 所以此排列为偶排列。 2.选择i与k使 1) 1274i56k9成偶排列： 2)1i25k4897成奇排列 解：1)当1=8，k=3时，所求排列的逆序数为： t1274i56k9)=x127485639) =0+0+4+1+3+1+1+0=10 故当1=8，k=3时的排列为偶排列 2)当i=3,k=6时，所求排列的逆序数为： x1i25k4897)=x132564897) =0+1+0+1+1+0+1+1=5 故当i=3,k=6时的排列为奇排列 3.写出把排列12345变成排列25341的那些对换 解：123452→21435)→254316→25341. 4.决定排列nn-)21的逆序数，并讨论它的奇偶性
北大版《高等代数》 1 第二部分 行列式习题精解 1. 求以下 9 级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性 1) 1 3 4 7 8 2 6 9 5; 2) 2 1 7 9 8 6 3 5 4; 3) 9 8 7 6 5 4 3 2 1; 解:1) 所求排列的逆序数为: (134782695) = 0 +1+1+3+3+ 0 +1+1=10 所以此排列为偶排列. 2) 所求排列的逆序数为: (217986354) =1+ 0 + 4 +5+ 4 +3+ 0 +1=18 所以此排列为偶排列. 3) 所求排列的逆序数为: ( ) ( ) 36 2 9 9 1 987654321 8 7 6 5 4 3 2 1 = − = + + + + + + + = 所以此排列为偶排列. 2.选择 i 与 k 使 1) 1274 i 56 k 9 成偶排列; 2) 1 i 25 k 4897 成奇排列. 解: 1) 当 i = 8, k = 3 时, 所求排列的逆序数为: ( ) ( ) 0 0 4 1 3 1 1 0 10 1274 56 9 127485639 = + + + + + + + = i k = 故当 i = 8, k = 3 时的排列为偶排列. 2)当 i = 3, k = 6 时, 所求排列的逆序数为: ( ) ( ) 0 1 0 1 1 0 1 1 5 1 25 4897 132564897 = + + + + + + + = i k = 故当 i = 3, k = 6 时的排列为奇排列. 3.写出把排列 12345 变成排列 25341 的那些对换. 解: 12345 ( ) ( ) ( ) 21435 25431 25341 ⎯1⎯,2 → ⎯2⎯,5 → ⎯3⎯,4 → . 4.决定排列 n(n −1)21 的逆序数,并讨论它的奇偶性
北大版《高等代数》 解：因为1与其它数构成n-1个逆序，2与其它数构成m-2个逆序， .n-1与n构成1个逆序，所以排列nn-).21的逆序数为 xn-).2=(n-）+(n-2)+.+2+1 =nn-) 2 故当n=4k,4k+时，排列为偶排列： 当n=4k+2,4k+3时排列为奇排列。 5.如果排列xx2xX的逆序数为k,排列xxxx的逆序数是多 少？ 解：因为比x,大的数有n-x个，所以在 xnxx2出与x2.xxn这两个排列中，由x,与比它的 各数构成的逆序数的和为-x,因而，由x,构成的逆序总数 恰为 1+2+.+0a-=n- 而排列xx2x。x,的逆序数为k,故排列x,xx,x的逆序数 为-山-k: 6.在6阶行列式中，a41a4na%a4a6s,a2aaua51a4s这两项应带有 什么符号？ 解：在6阶行列式中，项a2s41a42a6a,:a6s前面的符号为 （-1)4514612649=（)4=1. 同理项a2a4sa1:a51as6a2s前面的符号为 1）64156a424169=（1)4=1 所以这两项都带有正号. 7.写出4阶行列式中所有带有负号并且因子a2:的项。 解：所求的各项应是 -a11a2343204,-a12a23a34a41,-a14a23a31a42
北大版《高等代数》 2 解: 因为 1 与其它数构成 n −1 个逆序,2 与其它数构成 n − 2 个逆序, .n −1与n 构成 1 个逆序,所以排列 n(n −1)21 的逆序数为 ( ) ( ) ( ) ( ) 当 时排列为奇排列。 故当 时，排列为偶排列； 4 2,4 3 4 ,4 1 2 1 1 21 1 2 2 1 = + + = + − = − = − + − + + + n k k n k k n n n n n n 5.如果排列 n n x x x x 1 2 −1 的逆序数为 k ,排列 1 2 1 x x x x n n− 的逆序数是多 少? 解: 因为比 i x 大的数有 i n − x 个,所以在 1 2 1 x x x x n n− 与 n n x x x x 1 2 −1 这两个排列中,由 i x 与比它的 各数构成的逆序数的和为 i n − x .因而,由 i x 构成的逆序总数 恰为 ( ) ( ) 2 1 1 2 1 − + + + − = n n n 而排列 n n x x x x 1 2 −1 的逆序数为 k ,故排列 1 2 1 x x x x n n− 的逆序数 为 ( ) k n n − − 2 1 . 6.在 6 阶行列式中, a23a31a42a56a14a65 , a32a43a14a51a66a25 这两项应带有 什么符号? 解: 在 6 阶行列式中,项 a23a31a42a56a14a65 前面的符号为 ( ) ( ) ( 1) ( 1) 1 234516 312645 4 4 − = − = + + . 同理项 a32a43a14a51a66a25 前面的符号为 ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 341562 234165 6 4 − = − = + + . 所以这两项都带有正号. 7．写出 4 阶行列式中所有带有负号并且因子 23 a 的项。 解： 所求的各项应是 − a11a23a32a44 ， − a12a23a34a41 ， − a14a23a31a42
北大版《高等代数》 8.按定义计算行列式： 00 .0川 010. 0 6 0 6 02. 0 1) 2)::: n-1.00 00.n n0.00 n00.0 0.010 0 20g 3) n-1.000 0.00 解：1)所给行列式的展开式中只含有一个非零项a.a21.a1 它前面的符号应为 (-=( 所以原行列式(). 2)所给行列式的展开式中只含有一个非零项a2a2,.an-nam, 它前面的符号应为 （←1res=人1 所以原行列式=(-n!· 3)所给行列式的展开式中只含有一个非零项 a1-a2-2.an-.m 它前面的符号应为 (i-w=()- 所以原行列式←)-n: 9.由行列式定义证明： aaaa as 9c3000=0 4d000 ee2000
北大版《高等代数》 3 8．按定义计算行列式： 1） 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 n n − 2） . 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 n n − 3） n n 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 − . 解：1）所给行列式的展开式中只含有一个非零项 a1n a2,n−1 an1， 它前面的符号应为 ( ) ( ) 2 ( 1) ( 1) 21 1 1 − − − = − n n n n . 所以原行列式= ( ) ( ) 1 2 ! 1 n n n− − . 2）所给行列式的展开式中只含有一个非零项 a12a23 an−1,n an1 ， 它前面的符号应为 ( ) ( ) ( ) 23 1 1 1 1 − − = − n n . 所以原行列式= ( ) n n 1 1 − − ！. 3）所给行列式的展开式中只含有一个非零项 a1,n−1a2,n−2 an−1,1ann ， 它前面的符号应为 ( ) ( ( )) ( ) ( )( ) 2 1 2 1 2 21 1 1 − − − − − = − n n n n n . 所以原行列式= ( ) ( )( ) n n n 2 1 2 1 − − − ！. 9．由行列式定义证明： 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 = e e d d c c b b b b b a a a a a
北大版《高等代数》 解：行列式展开的一般项可表示为a,a,4,a4,a4,列标 4山，只可以在1,2,3,4,5中取不同的值，故三个下标中至 少有一个要取3,4,5列中之一数，从而任何一个展开式中至少 要包含一个0元素，故所给行列式展开式中每一项的乘积必为0， 因此原行列式值为0. 10.由行列式定义计算 2xx12 32x1 111x 中x与x的系数，并说明理由。 解：含有x的展开项只能是a,a2aa4,所以x4的系数为2： 同理，含有x3的展开项只能是a2a1444,所以x3的系 数为-1. 11.由 11. 11. 11.1 证明：奇偶排列各半. 证：由题设，所给行列式的展开式中的每一项的绝对值等于1. 而行列式的值为0，这说明带正号与带负号的项的项数相 等根据行列式的定义，其展开式中的每一项的符号是由该 乘积中各因子下标排列的逆序数所决定的，即当该乘积中名 因子的第一个下标排成自然顺序，且第二个下标所成排列 为偶排列时，该项前面所带的符号为正，否则为负号. 所以，由带正号的项与带负号的项数相等即说明奇偶 排列各半 12. x2.x a Px)=1 . .an 其中a1,a2,.,a是互不相同的数
北大版《高等代数》 4 解：行列式展开的一般项可表示为 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 a j a j a j a j a j ，列标 3 4 5 j j j 只可以在 1，2，3，4，5 中取不同的值，故三个下标中至 少有一个要取 3，4，5 列中之一数，从而任何一个展开式中至少 要包含一个 0 元素，故所给行列式展开式中每一项的乘积必为 0， 因此原行列式值为 0. 10． 由行列式定义计算 ( ) x x x x x f x 1 1 1 3 2 1 1 1 1 2 1 2 − = . 中 4 x 与 3 x 的系数，并说明理由。 解：含有 4 x 的展开项只能是 a11a22a33a44 ，所以 4 x 的系数为 2； 同理，含有 3 x 的展开项只能是 a12a21a33a44 ，所以 3 x 的系 数为-1. 11.由 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 证明：奇偶排列各半. 证：由题设，所给行列式的展开式中的每一项的绝对值等于 1. 而行列式的值为 0，这说明带正号与带负号的项的项数相 等.根据行列式的定义，其展开式中的每一项的符号是由该 乘积中各因子下标排列的逆序数所决定的，即当该乘积中各 因子的第一个下标排成自然顺序，且第二个下标所成排列 为偶排列时， 该项前面所带的符号为正，否则为负号. 所以，由带正号的项与带 负号的项数相等即说明奇偶 排列各半. 12．设 ( ) 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 − − − − − − − = n n n n n n n a a a a a a a a a x x x P x 其中 1 2 1 , , , a a an− 是互不相同的数
北大版《高等代数》 1)由行列式定义，说明P)是一个n-1次多项式： 2)由行列式性质，求Px)的根. 解：1)因为所给行列式的展开式中只有第一行含有x, 所以若该行列式的第一行展开时，含有x的对应项的 系数恰为()乘一个范德蒙行列式 . 9 1a2 a. 9 于是，由a,a2,.,an为互不相同的的数即知含有x的 对应项的系数不为0，因而Px)为一个n-1次的多项式 3)若用a,a2,.,an分代替x时，则由行列式的性质知 所给行列式的值为0，即P(a,)=0.故Px)至少有n-1个 根a,a2,an-又因为P)是一个n-1次的多项式，所 以a1,a2,.a必是Px)的全部根. 13.计算下面的行列式： |246427327 y x+y 1)1014543443 2)y x+y x -342721621 x+y x y 311 1234 131 113 412 1113 4123
北大版《高等代数》 5 1）由行列式定义，说明 P(x) 是一个 n −1 次多项式； 2）由行列式性质，求 P(x) 的根. 解：1）因为所给行列式的展开式中只有第一行含有 x ， 所以若该行列式的第一行展开时，含有 n−1 x 的对应项的 系数恰为 ( ) 1 1 + − n 乘一个范德蒙行列式 2 1 2 1 1 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 − − − − − − − n n n n n n n a a a a a a a a a a a a 于是，由 1 2 1 , , , a a an− 为互不相同的的数即知含有 n−1 x 的 对应项的系数不为 0，因而 P(x) 为一个 n −1 次的多项式. 3）若用 1 2 1 , , , a a an− 分代替 x 时，则由行列式的性质知 所给行列式的值为 0，即 P(ai ) = 0 .故 P(x) 至少有 n −1 个 根 1 2 1 , , , a a an− .又因为 P(x) 是一个 n −1 次的多项式，所 以 1 2 1 , , a a an− 必是 P(x) 的全部根. 13．计算下面的行列式： 1） 342 721 621 1014 543 443 246 427 327 − 2） x y x y y x y x x y x y + + + 3） 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 1 4） 4 1 2 3 3 4 1 2 2 3 4 1 1 2 3 4