二、（本题10分）设fi,f2,..,fn为[0,1]上的非负连续函数.求证：存在e[0,1]使得II f(5) ≤IIfi(a)dr.k=1k=1证明：记fr(ar)dr,Vk=1,2,...,n..as(1 分)当某个ak=0时，结论是平凡的下设ak>0（Vk=1,2....,n).我们有1" fi(a) da=1.fk(a)daaknakJ0k=1(8 分)由此立即可得存在[0,1]使得fk(E)Yak(10 分)结论得证.口第2页（共13页）
二、(本题 10 分) 设 f1, f2, . . . , fn 为 [0, 1] 上的非负连续函数. 求证: 存在 ξ ∈ [0, 1], 使得 ∏n k=1 fk(ξ) ≤ ∏n k=1 ∫ 1 0 fk(x) dx. 证明: 记 ak = ∫ 1 0 fk(x) dx, ∀ k = 1, 2, . . . , n. 当某个 ak = 0 时, 结论是平凡的. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 分) 下设 ak > 0 ( ∀ k = 1, 2, . . . , n). 我们有 ∫ 1 0 n vuut ∏n k=1 fk(x) ak dx ≤ ∫ 1 0 1 n ∑n k=1 fk(x) ak dx = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8 分) 由此立即可得存在 ξ ∈ [0, 1] 使得 n vuut ∏n k=1 fk(ξ) ak ≤ 1. 结论得证. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分) ✷ 第2页 ( 共 13页)
三、（本题15分）设Fn是数域F上的n维列空间，α：Fn→Fn是一个线性变换.若VAEMn(F),(Aa)=A(α),（VαEV),证明：=>·idFn，其中入是F中某个数idFn表示恒同变换证明：设α在Fn的标准基1,.·,En下的矩阵为B,则o(α)=Bα（VαEFn).(5分)由条件:VAMn(F),(Aα)=Ao(α),VαEFn,有BAα=AB,VαEFn故AB=BA,(VAEMn(F))(10 分)设B=(bi),取A=diag(1,,1,c,1,..·,1),其中c≠0,1,由AB=BA可得bij=0,Vi≠j.又取A=In-Eu-Ejj+Ei+Ej，这里Est是（st)-位置为1其它位置为0的矩阵.则由AB=BA可得ai=aj，（Vi,j).取入=a11.故B=入In从而=入·idFn(15 分)第3页（共13页）
三、 (本题 15 分) 设 F n 是数域 F 上的 n 维列空间, σ : F n → F n 是一个线 性变换. 若 ∀ A ∈ Mn(F), σ(Aα) = Aσ(α), ( ∀ α ∈ V ), 证明: σ = λ · idF n , 其中 λ 是 F 中某个数, idF n 表示恒同变换. 证明: 设 σ 在 F n 的标准基 ε1, · · · , εn 下的矩阵为 B, 则 σ(α) = Bα ( ∀ α ∈ F n ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分) 由条件: ∀ A ∈ Mn(F), σ(Aα) = Aσ(α), ∀ α ∈ F n , 有 BAα = ABα, ∀ α ∈ F n . 故 AB = BA, ( ∀ A ∈ Mn(F)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分) 设 B = (bij ), 取 A = diag (1, · · · , 1, c, 1, · · · , 1), 其中 c ̸= 0, 1, 由 AB = BA 可 得 bij = 0, ∀ i ̸= j. 又取 A = In − Eii − Ejj + Eij + Eji, 这里 Est 是 (s t)− 位置 为 1 其它位置为 0 的矩阵.则由 AB = BA 可得 aii = ajj , ( ∀ i, j). 取 λ = a11. 故 B = λIn, 从而 σ = λ · idF n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (15 分) 第3页 ( 共 13页)