<x<b其中a,b(a<b)(1）均匀分布：设X为连续型随机变量，若概率密度为f(x)=7b-o0,其它,为任意实数，则称随机变量X服从区间（a,b)上的均匀分布，记为X～U(a,b)0,x<a,x-a,a≤x<b,（2）均匀分布的分布函数：F(x)=b-a[1,x≥b.（3）应用：若X在（a,b)上服从均匀分布，对a,b）内的任一个子区间（c,d)，有["dx=d-0P(c<X<d) =b-ab-a2.指数分布[ae--x,x>0（1）指数分布：设X为连续型随机变量，若概率密度为f(x)其中参数入>0，[0,其它,则称随机变量X服从参数为的指数分布，记为X～E(a)[1-e-x,x>0,(2）指数分布的分布函数：F(x)=[0,其它（3）定理：（指数分布的无记忆性）设随机变量X～E（2），则对于任意的正数s和t有P(X>s+t(X>t)=P(X>s)3.正态分布(x-u)1（1）正态分布：设X为连续型随机变量，若概率密度为f(x)=2G<x<0,其/2元0中μ,o(α>O)为参数，则称随机变量X服从参数为μ和的正态分布，也叫高斯分布，记为X ~N(μu,o").(t-μ)（2）正态分布的分布函数：F（x)=P(X≤x：20dt,0<x<0V2元0（3）几点说明：20
20 （1）均匀分布：设 X 为连续型随机变量，若概率密度为 , 1 , , ( ) 0, a x b f x b a 其它 其中 a，b(a<b) 为任意实数，则称随机变量 X 服从区间 (a,b)上的均匀分布，记为 X U(a,b) ． （2）均匀分布的分布函数： 0, , ( ) , , 1, . x a x a F x a x b b a x b （3）应用：若 X 在(a,b) 上服从均匀分布，对(a,b) 内的任一个子区间(c,d)，有 1 { } d c d c P c X d dx b a b a . 2.指数分布 （1）指数分布：设 X 为连续型随机变量，若概率密度为 , 0, ( ) 0, x e x f x 其它, 其中参数 0 ， 则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布，记为 X E() ． （2）指数分布的分布函数： 1 , 0, ( ) 0, x e x F x 其它. （3）定理：（指数分布的无记忆性）设随机变量 X E() ，则对于任意的正数 s 和 t 有 PX s t X t P X s. 3.正态分布 （1）正态分布：设 X 为连续型随机变量，若概率密度为 2 2 ( ) 2 1 ( ) , , 2 x f x e x 其 中 ,( 0) 为参数，则称随机变量 X 服从参数为 2 和 的正态分布，也叫高斯分布，记为 2 X N(, ) ． （2）正态分布的分布函数： 2 2 ( ) 2 1 ( ) { } , . 2 t x F x P X x e dt x （3）几点说明：
（i）概率密度f(x)的图形关于x=μ对称，是轴对称图形，在x=μ处取到最大值，并且对于同样长度的区间，若区间离u越远，则X落在这个区间内的概率越小（ii）f（x）的图形以x轴为渐近线，随着x的取值往两侧无限延伸，图形与x轴无限接近，但又不会相交.（iii）当参数μ固定时，α的值越大，f(x)的图形就越平缓；α的值越小，f(x)的图形就越尖狭，由此可见参数的变化能改变图形的形状，称为形状参数，(x)A（iv）当参数α固定时，随着μ值的变化，f(x)图形的形状不改变，位置发生左右平移，由此可见参数μ的变化能改变图形的位置，称μ为位置参数(x)u（4）标准正态分布X~N（O,1）x1(i）概率密度p(x)<x<00V2元2（ii）分布函数Φ(x)=e2dt,-00<x<00V2元(iii)根据概率密度(x)的对称性，有Φ(-x)=1-(x)(5）定理：（标准化定理）若X~ N(u,c")，则Z= X-"~ N(0,1)a(6）标准化定理的应用：设x,a,b(a<b)为任意实数，则--=(-=(-)F(x)= P(X≤x) = P(oOob-μb-μX-uP(a<X≤b)= Pra-μ<a-o6a021
21 （i）概率密度 f (x)的图形关于 x 对称，是轴对称图形，在 x 处取到最大值，并且对于 同样长度的区间，若区间离 越远，则 X 落在这个区间内的概率越小. （ii） f (x)的图形以 x 轴为渐近线，随着 x 的取值往两侧无限延伸，图形与 x 轴无限接近，但 又不会相交． （iii）当参数 固定时， 的值越大， f (x)的图形就越平缓； 的值越小， f (x)的图形就 越尖狭，由此可见参数 的变化能改变图形的形状，称 为形状参数． （iv）当参数 固定时，随着 值的变化， f (x) 图形的形状不改变，位置发生左右平移，由 此可见参数 的变化能改变图形的位置，称 为位置参数． （4）标准正态分布 X N(0,1) （i）概率密度 22 1 ( ) , 2 x x e x （ii）分布函数 22 1 ( ) , . 2 t x x e dt x （iii）根据概率密度(x)的对称性，有(x) 1 (x). （5）定理：（标准化定理）若 2 X N(, )，则 (0,1). X Z N （6）标准化定理的应用：设 x,a,b(a b) 为任意实数，则 ( ) { } { } { } ( ), X x x x F x P X x P P Z { } { } ( ) ( ). a X b b a P a X b P
6.“3g”法则：设XN(u,α)，则P(u-3g<X<μ+3)=Φ(3)-Φ(-3)=2(3)-1~0.997即正态分布Nu,α2）的随机变量以99.7%的概率落在以μ为中心、3α为半径的区间内，落在区间以外的概率非常小，可以忽略不计，这就是“3α”法则.三，例题讲解例1.车流中的“时间间隔”是指一辆车通过一个固定地点与下一辆车开始通过该点之间的时间长度.设X表示在大流量期间，高速公路上相邻两辆车的时间间隔，X的概率密度描述了高速公路上的交通流量规律，其表达式为：[0.15e-0.15(x-0.5), x ≥0.5,f(x) =[0,其它.概率密度f(x）的图形如下图，求时间间隔不大于5秒的概率。f(x)0.15P(X≤5)ot0例2.设随机变量X表示桥梁的动力荷载的大小（单位：N)，其概率密度为1.3=x.0≤x≤2f(x)=388[0,其它.求：（1)）分布函数F(x）：（2）概率P1≤X≤1.5)及PX>I)例3.某食品厂生产一种产品，规定其重量的误差不能超过3克，即随机误差X服从（-3，3）上的均匀分布.现任取出一件产品进行称重，求误差在-1~2之间的概率.例4.设随机变量X在（1，4）上服从均匀分布，对X进行三次独立的观察，求至少有两次观察值大于2的概率，例5.设随机变量X表示某餐馆从开门营业起到第一个顾客到达的等待时间（单位：min），则X[0.4e-0.4x,x>0,服从指数分布，其概率密度为f(x)=求等待至多5分钟的概率以及等待3至4分0,其它.钟的概率例6.汽车驾驶员在减速时，对信号灯做出反应所需的时间对于帮助避免追尾碰撞至关重要.有研究表明，驾驶员在行车过程中对信号灯发出制动信号的反应时间服从正态分布，其中U=1.25秒，G=0.46秒.求驾驶员的制动反应时间在1秒至1.75秒之间的概率？如果2秒是一个非常长的反应时间，那么实际的制动反应时间超过这个值的概率是多少？例7.设某公司制造绳索的抗断强度服从正态分布，其中μ=300千克，G=24千克.求常数a，使22
22 6.“3 ”法则：设 2 X N(, )，则 P{ 3 X 3} (3) (3) 2(3) 1 0.997, 即正态分布 2 N(, ) 的随机变量以 99.7%的概率落在以 为中心、3 为半径的区间内，落在区间 以外的概率非常小，可以忽略不计，这就是“3 ”法则. 三．例题讲解 例 1．车流中的“时间间隔”是指一辆车通过一个固定地点与下一辆车开始通过该点之间的时间 长度.设 X 表示在大流量期间，高速公路上相邻两辆车的时间间隔，X 的概率密度描述了高速公路上 的交通流量规律，其表达式为： 0.15( 0.5) 0.15 , 0.5, ( ) 0, x e x f x 其它. 概率密度 f (x) 的图形如下图，求时间间隔不大于 5 秒的概率. 例 2．设随机变量 X 表示桥梁的动力荷载的大小（单位:N），其概率密度为 1 3 ,0 2; ( ) 8 8 0, x x f x 其它. 求：（1）分布函数 F(x) ；（2）概率 P{1 X 1.5}及 P{X 1}. 例 3．某食品厂生产一种产品，规定其重量的误差不能超过 3 克，即随机误差 X 服从（-3,3）上 的均匀分布.现任取出一件产品进行称重，求误差在-1~2 之间的概率. 例 4．设随机变量 X 在（1,4）上服从均匀分布，对 X 进行三次独立的观察，求至少有两次观察 值大于 2 的概率. 例 5.设随机变量 X 表示某餐馆从开门营业起到第一个顾客到达的等待时间（单位：min），则 X 服从指数分布，其概率密度为 0.4 0.4 , 0, ( ) 0, x e x f x 其它. 求等待至多 5 分钟的概率以及等待 3 至 4 分 钟的概率. 例 6．汽车驾驶员在减速时，对信号灯做出反应所需的时间对于帮助避免追尾碰撞至关重要．有 研究表明，驾驶员在行车过程中对信号灯发出制动信号的反应时间服从正态分布，其中 1.25 秒， 0.46 秒．求驾驶员的制动反应时间在 1 秒至 1.75 秒之间的概率？如果 2 秒是一个非常长的反应 时间，那么实际的制动反应时间超过这个值的概率是多少？ 例 7．设某公司制造绳索的抗断强度服从正态分布，其中 300 千克， 24 千克.求常数 a，使
抗断强度以不小于95%的概率大于a.s5随机变量的函数的分布一.离散型随机变量函数的分布若X是离散型随机变量，g(x)是实数x的函数，则当X取有限个或可列个值时，Y=g(X)也取有限个或可列个值.根据离散型随机变量求解分布律的方法，首先确定Y的取值，再分别求出相应取值的概率，这样就得到了Y的分布律.二．连续型随机变量函数的分布1.分布函数法设连续型随机变量X的分布函数为Fx），即F(x）=PX≤x)，y=g(x）是实数x的函数求随机变量Y=g(X)的分布.(1）求出随机变量Y的分布函数F,(y)=P(Y≤y)=P(g(X)≤).（2）当Y=g(X）是连续型随机变量时，F（y）)关于y求导，就得到了Y的概率密度Jr(y)=F)(y)；当Y=g(X)不是连续型随机变量时，要根据函数g(x)的特点作个案处理2.公式法定理：设X是连续型随机变量，其概率密度为fx(x)，又函数g(x)严格单调，其反函数h(y)有连续导数，则Y=g(X)是连续型随机变量，且其概率密度为J fx[h(y)]-|h(y)],α<y<β,f,(y) :[0,其它.其中 α =min(g(-00),g(+o0)), β=max(g(-00),g(+o0))三。例题讲解例1.设随机变量X表示某品牌手表的日走时误差（单位：s），其分布律为：X0121P0.20. 40.30. 1求Y=(X-1)的分布律（T-10），试求M的例2.某仪器设备内的温度T是随机变量，且T～N(100,4)，已知M=2分布例3.设随机变量X服从均匀分布U(-1,3)，记23
23 抗断强度以不小于 95%的概率大于 a.§5 随机变量的函数的分布 一.离散型随机变量函数的分布 若 X 是离散型随机变量，g(x) 是实数 x 的函数，则当 X 取有限个或可列个值时，Y g(X )也 取有限个或可列个值.根据离散型随机变量求解分布律的方法，首先确定Y 的取值，再分别求出相应 取值的概率，这样就得到了Y 的分布律. 二．连续型随机变量函数的分布 1. 分布函数法 设连续型随机变量 X 的分布函数为 ( ) FX x ，即 ( ) { } FX x P X x ，y g(x) 是实数 x 的函数， 求随机变量Y g(X )的分布. （1）求出随机变量Y 的分布函数 ( ) { } { ( ) } FY y P Y y P g X y . （2）当 Y g(X ) 是连续型随机变量时， ( ) FY y 关于 y 求导，就得到了 Y 的概率密度 ' ( ) ( ) Y Y f y F y ；当Y g(X ) 不是连续型随机变量时，要根据函数 g(x) 的特点作个案处理. 2. 公式法 定理：设 X 是连续型随机变量，其概率密度为 ( ) X f x ，又函数 g(x)严格单调，其反函数 h( y) 有连续导数，则 Y g(X)是连续型随机变量，且其概率密度为 [ ( )] ( ) , , ( ) 0,X Y f h y h y y f y 其它. 其中 min{g(), g()}， max{g(), g()} . 三．例题讲解 例 1.设随机变量 X 表示某品牌手表的日走时误差（单位：s），其分布律为： X -1 0 1 2 P 0.2 0.4 0.3 0.1 求 2 Y (X 1) 的分布律. 例 2.某仪器设备内的温度 T 是随机变量，且T ~ N(100,4) ，已知 1 10 2 M （T ），试求 M 的 分布.例 3.设随机变量 X 服从均匀分布U(1,3) ,记
Y<0X≥0.2求Y的分布律例4.设随机变量X表示某服务行业一位顾客的服务时间，X服从指数分布，其概率密度为[e-*,x>0,f(x):0,其它,求Y=e的概率密度例5.设随机变量X~N(O,1)，求Y=X的概率密度第二章习题课1（88，2分）设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02的正态分布上。已知2Φ(x)e2du,Φ(2.5)=0.9938，则X落在区间（9.95,10.05）内的概率为V2元1，求随机变量Y=1-3/X2(88，6分)设随机变量X的概率密度函数为fx（x）=元(1 +x2)的概率密度函数fr(y)。3（89，2分）设随机变量=在区间（1，6）上服从均匀分布，则方程x+x+1=0有实根的概率是1-4（90，2分）0<x<+00，则X的概已知随机变量X的概率密度函数f(x）：2率分布函数F（x）5（93，3分）设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y=X2在（0，4）内的概率分布密度f,(y)=06(95,6分)设随机变量X的概率密度为[e-xx≥0fx(x) =X<010.求随机变量Y=e"的概率密度f,(y)。设随机变量X服从正态分布N（u,α）g>0)，且二次方程y?+4y+X=07(02,3分)1无实根的概率为一，则μ=224
24 1 , 0, 2 1 , 0. 2 X Y X 求 Y 的分布律. 例 4.设随机变量 X 表示某服务行业一位顾客的服务时间，X 服从指数分布，其概率密度为 , 0, ( ) 0, , x e x f x 其它 求 X Y e 的概率密度． 例 5.设随机变量 X ~ N(0,1) ，求Y X 的概率密度. 第二章习题课 1 （ 88 ， 2 分 ） 设 随 机 变 量 X 服 从 均 值 为 10 ， 均 方 差 为 0.02 的 正 态 分 布 上 。 已 知 , (2.5) 0.9938， 2 1 ( ) 2 2 x e du u x 则 X 落在区间（9.95, 10.05）内的概率为 。 2（88，6 分） 设随机变量 X 的概率密度函数为 (1 ) 1 ( ) 2 x f x X ，求随机变量 Y=1- 3 X 的概率密度函数 f ( y) Y 。 3（89，2 分） 设随机变量 在区间（1，6）上服从均匀分布，则方程 1 0 2 x x 有实根 的概率是 。 4（90，2 分） 已知随机变量 X 的概率密度函数 | | 2 1 ( ) x f x e ， x ，则 X 的概 率分布函数 F（x）= 。 5（93，3 分） 设随机变量 X 服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量 2 Y X 在（0，4）内 的概率分布密度 fY ( y) 。 6（95，6 分） 设随机变量 X 的概率密度为 0, 0 0 ( ) x e x f x x X 求随机变量 X Y e 的概率密度 f ( y) Y 。 7（02，3 分） 设随机变量 X 服从正态分布 ( , )( 0) 2 N ，且二次方程 4 0 2 y y X 无实根的概率为 2 1 ，则