浙江科技学院Zhejiang University of Science and Technology第九章拉普拉氏变换结运回P束
结 束 返回 浙江科技学院 Zhejiang University of Science and Technology 第九章 拉普拉氏变换
第2页240ctober2025第九章拉普拉氏变换$ 4拉氏逆变换在实际问题中，我们不仅需要对函数f(t)求其拉氏变换F(s),也常常需要由像函数F(s)求像原函数f(t)当F(s)比较简单时，我们可以通过拉氏变换的性质或卷积定理或拉氏变换表来解决.但是如果F(s)比较复杂上述方法就很不方便本节介绍了更一般的方法，利用像函数通过反演积分或留数方法求像原函数结达口束
结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第2页 2 §4 拉氏逆变换 ( ) ( ), ( ) ( ). f t F s F s f t 在实际问题中，我们不仅需要对函数 求其拉氏 变换 也常常需要由像函数 求像原函数 . . ( ) ( ) F s F s 当 比较简单时，我们可以通过拉氏变换的性质 或卷积定理或拉氏变换表来解决 但是如果 比较复杂， 上述方法就很不方便 本节介绍了更一般的方法，利用像函数通过反演积 分或留数方法求像原函数
第3页240ctober2025第九章拉普拉氏变换1、反演积分公式函数,f( t)的拉氏变换，实际上就是 f(t)u(t)e-βt的傅氏变换，即F(s) = F(β+io) = ( f(t)u(t)e-βte-iotdt.因此，当 f(t)u(t)e-βt 满足傅氏积分定理的条件时，在f()的连续点处，有f(t)u(t)e-βt(+F(β + io)eiot do.2元只要β在F(s)的存在域内即可结区口束
结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第3页 3 1、反演积分公式 t f t u t e − 函数 f(t)的拉氏变换，实际上就是 ( ) ( ) 的傅氏变换，即 + − − = ( + ) . 2 1 ( ) ( ) f t u t e F i e d t i t ( ) ( ) ( ) ( ) . + − − − F s = F + i = f t u t e e dt t it t f t u t e − 因此，当 ( ) ( ) 满足傅氏积分定理的条 件时，在 f (t)的连续点处，有 只要在F s( )的存在域内即可
第4页240ctober2025第九章拉普拉氏变换这样当t>0时，注意到(t)=1，因而得到1F(β +io)eiot dof(t)2元1F(β + io)e(β+io) do2元s=β+io1B+iooF(s)est ds.二2元B-ioo11B+ioo即(1)F(s)est ds.f(t)2元JB-ioc7结口束
结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第4页 4 这样当t 0时，注意到u(t) 1，因而得到 + − = + f t e F i e d t i t ( ) 2 1 ( ) + − = + + − + = = + i i st s i i t F s e ds i F i e d ( ) . 2 1 ( ) 2 1 ( ) 即 ( ) . (1) 2 1 ( ) + − = i i st F s e ds i f t
第5页24 0ctober2025第九章拉普拉氏变换公式（1）就是从像函数Fs)求像原函数t的一般公式，称为反演积分公式积分路径是s平面上的一条竖直直线Re(s)=β该直线位于F(s)的存在域中注:由于F(s)在其存在域中是解析的，因而此直线的右边不包含F(s)的奇点结达口束
结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第5页 5 公式（1）就是从像函数F(s)求像原函数 f(t)的 一般公式，称为反演积分公式. Re( ) , ( ) . s s F s 积分路径是 平面上的一条竖直直线 = 该直线位于 的存在域中 : ( ) ( ) . F s F s 由于 在其存在域中是解析的,因而 此直线的右边不包含 的奇点 注