浙江科技学院Zhejiang University of Science and Technology第九章拉普拉氏变换结运回P束
结 束 返回 浙江科技学院 Zhejiang University of Science and Technology 第九章 拉普拉氏变换
第2页240ctober2025第九童拉普拉氏变换3、积分性质LIf' f(t)dt) = = F(s).若LLf(t)]= F(s),则S证明： 设 h(t)=f" f(t)dt， 则h'(t) = f(t), h(O)= 0.于是L[h'(t)] = sL[h(t)] - h(O) = sL[h(t)],即f, f(t)dt)=↓ Lf(t) = = F(s).S?重复应用上式，可以得到f' dtf' dt. ' f()dt)= - F(s).结0达口束
结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第2页 3、积分性质 若L[ f (t)] = F(s),则 ( ). 1 [ ( ) ] 0 F s s f t dt t = L 证明：设 ( ) ( ) , 0 = t h t f t dt 则 h'(t) = f (t), h(0) = 0. 于是 L[h'(t)] = sL[h(t)]− h(0) = sL[h(t)], 即 ( ). 1 [ ( )] 1 [ ( ) ] 0 F s s f t s f t dt t = = L L 重复应用上式，可以得到 0 0 0 1 [ ( ) ] ( ). t t t n dt dt f t dt F s s = L
第3页240ctober2025第九章拉普拉氏变换另外，关于像函数的积分，有如下公式：若LLf(t)I = F(s),则(*)F(s)ds.- [' ds s.' (s)ds.特别地，在*式中令S=0则f(t)+8dt =F(s)ds.0t结达口束
结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第3页 另外，关于像函数的积分，有如下公式： 若L[ ( )] ( ), f t F s = 则 ] ( ) . (*) ( ) [ = s F s ds t f t L 特别地，在*式中令s=0， 则 ( ) . ( ) 0 0 + dt = F s ds t f t ( ) [ ] ( ) . n s s s f t L ds ds F s ds t =
第4页240ctober2025第九章拉普拉氏变换sint例4 求f(t)的拉氏变换t1所以解：因为L[sintl+1元ds = arctan sarctan s.2于是1sint元Od.ds = arctan22J01t+1sintdt思考题：JOt结口A束
结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第4页 例4 求 t t f t sin ( ) = 的拉氏变换. 解：因为 , 所以 1 1 [sin ] 2 + = s L t arctan . 2 arctan | 1 1 ] sin [ 2 ds s s t s t s = s = − + = L 于是 . 2 arctan | 1 sin 1 0 2 0 0 + = = + = ds s dt t t 思考题： ? sin 0 = + − e dt t t t
第5页240ctober2025第九章拉普拉氏变换4、位移性质若LLf(t)]= F(s),则L[esot f(t)l= F(s-s), Re(s- s,)>c或者L"[F(s-S)]=es L-{F(s)]=eot f(t)证明：根据定义，得L[e" f(t)] = f~e" f(t)e-"t dt = (+" f(t)e-(s-so"dt= F(s-S.),Re(s - so) > c.这个性质表明了一个像原函数乘以et的拉氏变换等于其像函数位移s。.结DO悠回束
结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第5页 4、位移性质 若L[ f (t)] = F(s),则 [ ( )] ( ), Re( ) . 0 0 0 L e f t F s s s s c s t = − − 或者 1 1 0 0 0 [ ( )] [ ( )] ( ). s t s t L F s s e L F s e f t − − − = = 证明： 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 [ ( )] ( ) ( ) ( ), Re( ) . s t s t s s t st e f t e f t e dt f t e dt F s s s s c + + − − − = = = − − L . 0 0 s e s t 拉氏变换等于其像函数作位移 这个性质表明了一个像原函数乘以 的 根据定义，得