8（04，4分）设随机变量x服从正态分布N(0,1)，对给定的α(0<α<1)，数u。满足P(X>ua}=α，若PX<x)=α，则x等于(A) ug)(B) "/%(C) ui-a(D)ui-a[1229（06，4分）设随机变量X服从正态分布N（μ,），Y服从正态分布N（μz,），且P(I X-μ1)>P(IY-μ, 1),(A) 0,<02.(B) 0,>02.(C) μ,<μ2(D) μ,>μ/2复习思考题、作业题：P55习题6-15下次课预习要点：第三章多维随机变量及其分布$1二维随机变量S2边缘分布$3条件分布正态分布是本书中要讲述的重点分布，但关于它的概率问题不能直接求解，得先借助课本P48引理，把它化成标准正态分布，再通过查表P397进行求解。在转换过程中自此至终都得围绕着N(O.1)变量的形式进行，这点得跟学生多次强调，并举例演算。此外，还可以把P397标准正态分布分布表的查表规则进一步总结如下：1、若X~N(O,1),分下列两种情况查表：(1）当x≥0，直接查。如：Φ(0.5)=0.6915,Φ(1.28)=0.8997;教学(2)当x<0，利用公式Φ(x)=1-Φ(-x)查表。如：后记Φ(-1.28)=1-@Φ(1.28)=1-0.8997=0.1003:2、若X~N(u,α），则要先对X标准化再查表。如：X ~ N(-3,2), P(X ≤6)= P(≥=(6.36)=1V2V2(此处Φ(6.36)不能直接查表得到，但表中有Φ(3.09)=1，利用分布函数单25
25 8（04，4 分） 设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1)，对给定的(0 1) ，数 u 满足 P{X u} ，若 P{ X x} ，则 x 等于 (A) 2 u . (B) 2 1 u . (C) 2 1 u . (D) 1 u . [ ] 9（06，4 分） 设随机变量 X 服从正态分布 2 1 1 N( , ) ，Y 服从正态分布 2 2 2 N( , ) ，且 1 2 P{| X |1} P{|Y |1}, （A）1 2. （B）1 2. （C） 1 2. （D） 1 2. 复习思考题、作业题： P55 习题 6-15. 下次课预习要点： 第三章 多维随机变量及其分布 §1 二维随机变量 §2 边缘分布 §3 条件分布 教 学 后 记 正态分布是本书中要讲述的重点分布，但关于它的概率问题不能直接求解，得先 借助课本 P48 引理，把它化成标准正态分布，再通过查表 P397 进行求解。在转换过 程中自此至终都得围绕着 N(0,1)变量的形式进行，这点得跟学生多次强调，并举例演 算。 此外，还可以把 P397 标准正态分布分布表的查表规则进一步总结如下： 1、 若 X N(0,1),分下列两种情况查表： (1) 当 x 0 ，直接查。如： (0.5) 0.6915,(1.28) 0.8997; (2) 当 x 0 ，利用公式 (x) 1 (x) 查表。如： (1.28) 1 (1.28) 1 0.8997 0.1003; 2、 若 2 X N(, ) ，则要先对 X 标准化再查表。如： ( 3) 6 ( 3) ~ ( 3,2), { 6} { } (6.36) 1 2 2 X X N P X P (此处 (6.36) 不能直接查表得到，但表中有(3.09) 1，利用分布函数单
调不减的属性知道Φ(6.36)=1。）经过这样条理清晰地讲述，同学们感到课本内容更好理解了。授课时间第5周课次第5次第三章多维随机变量及其分布81二维随机变量章节82边缘分布名称$3条件分布授课教学3理论课（V）、实践课（）、习题课（）、其它（方式时数1、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布的概念、性质；连续型教学目的联合概率密度和边缘密度，会利用二维概率分布求有关事件的概率：要求2、掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义。教学讲授、课堂提问、讨论、启发、自学方法教学重点：二维离散型随机变量的联合分布律及边缘分布律，二维连续型随机变量的联合重点概率密度及边缘概率密度：条件分布律，条件概率密度的概念。难点难点：利用二维概率分布求有关事件的概率，二维正态分布：条件概率密度的计算。教学步骤及内容：81二维随机变量一、二维随机变量的概念在射击时，炮弹弹着点与横坐标和纵坐标有关，弹着点受两个变量的影响横坐标和纵坐标是定义在一个样本空间的两个随机变量，与一维随机变量类似，一般地我们可定义二维随机变量如下：定义：设E是一个随机试验，样本空间是S={e)，设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在其样本空间S上的随机变量，由它们构成的向量（X,Y)，称为定义在样本空间S上的二维随机向量或二维随机变量X(e)e图126
26 调不减的属性知道(6.36) 1。) 经过这样条理清晰地讲述，同学们感到课本内容更好理解了。 授课时间 第 5 周 课 次 第 5 次 章 节 名 称 第三章 多维随机变量及其分布 §1 二维随机变量 §2 边缘分布 §3 条件分布 授 课 方 式 理论课（ √ ）、实践课（ ）、习题课（ ）、其它（ ） 教学 时数 3 教 学 目 的 要 求 1、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布的概念、性质；连续型 联合概率密度和边缘密度，会利用二维概率分布求有关事件的概率； 2、掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义。 教 学 方 法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教 学 重 点 难 点 重点：二维离散型随机变量的联合分布律及边缘分布律，二维连续型随机变量的联合 概率密度及边缘概率密度；条件分布律，条件概率密度的概念。 难点：利用二维概率分布求有关事件的概率，二维正态分布；条件概率密度的计算。 教学步骤及内容： §1 二维随机变量 一、二维随机变量的概念 在射击时，炮弹弹着点与横坐标和纵坐标有关，弹着点受两个变量的影响．横坐标和纵坐标是定 义在一个样本空间的两个随机变量． 与一维随机变量类似，一般地我们可定义二维随机变量如下： 定义：设 E 是一个随机试验，样本空间是 S {e}，设 X X (e) 和Y Y (e) 是定义在其样 本空间 S 上的随机变量，由它们构成的向量(X ,Y) ，称为定义在样本空间 S 上的二维随机向量或二 维随机变量． 图1 S Y (e ) X (e ) e
在研究随机向量的概率特征时，除每个随机变量的概率特征外，还要研究它们的联合概率特征：后者可以完全决定前者，但是前者一般不能完全决定后者。因此，只研究单个随机变量的分布是不够的，还必须研究随机向量作为一个整体的联合分布，与一维情形类似，为了研究二维随机变量的联合分布，我们引入“分布函数”来研究二维随机变量.定义：设（X,Y）是二维随机变量，对于任意的实数x,y，二元函数：记成F(x, y)= P(X≤x)O(Y≤y)=P(X≤x,Y≤y)称为二维随机变量（X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数如果将二维随机变量(X,Y)看成是平面上随机点的坐标，那么，分布函数F(x,J）在平面上任意点(x,J)处的函数值就是随机点(X,Y)落在点（x,y)左下方的整个无穷区域内的概率，如图2所示.yy(x,y)(a,y2)(xz,y2)y2yix(x)(x2,y)0xXx2图3图2借助图3容易算出随机点(X,Y)落在矩形区域[x<x≤x2，J<y≤y]的概率为P(x<X≤x2, J<Y≤y2)= F(x2, y2)-F(x2, J)+F(X1,J)-F(X,y2)联合分布函数F(x，y）具有下列基本性质：1.F(x,y)是变量x,y的不减函数2.0≤F(x,y)≤1，且对任意固定的y,F(-00,y)=0,对任意固定的x,F(x,-8)=0，F(-00, - 00)= 0F(+00, +00)=127
27 在研究随机向量的概率特征时，除每个随机变量的概率特征外，还要研究它们的联合概率特征： 后者可以完全决定前者，但是前者一般不能完全决定后者．因此，只研究单个随机变量的分布是不 够的，还必须研究随机向量作为一个整体的联合分布． 与一维情形类似，为了研究二维随机变量的联合分布，我们引入“分布函数”来研究二维随机 变量． 定义：设 X, Y 是二维随机变量，对于任意的实数 x, y ，二元函数： F(x, y) P{(X x)( Y y)}P(X x,Y y) 记成 称为二维随机变量 X, Y 的分布函数，或称为随机变量 X 和Y 的联合分布函数． 如果将二维随机变量(X ,Y) 看成是平面上随机点的坐标，那么，分布函数 F(x, y) 在平面上任 意点(x, y) 处的函数值就是随机点(X ,Y) 落在点(x, y)左下方的整个无穷区域内的概率，如图 2 所 示． 借助图 3 容易算出随机点(X ,Y) 落在矩形区域 1 2 1 2 [x x x , y y y ] 的概率为 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 P{x X x , y Y y } F(x , y ) F(x , y ) F(x , y ) F(x , y ) 联合分布函数 F(x, y) 具有下列基本性质： 1． F(x, y) 是变量 x, y 的不减函数 2．0 F(x, y) 1 ，且对任意固定的 y, F(, y) 0 ,对任意固定的 x, F(x,) 0 ， F(, ) 0 F(, ) 1 ， y (x, y) 2 2 (x , y ) 2 1 (x , y ) 1 2 (x , y ) 1 1 x (x , y ) x y 图2 图3 2 y 1 x 1 y 2 x O O
F(x,y)=F(x+0, y)F(x, y)=F(x, y+0)3.F(x,Jy)关于x和y均右连续4.对任意(x,y),(x2,y2),<x2,J<y2，下述不等式成立：F(x2, y2)-F(x2, y)+F(x,y)-F(x, y2)≥0二、二维离散型随机变量与一维随机变量的情形类似，我们这里讨论的也是离散型和连续型这两种类型的二维随机变量，定义：若二维随机变量（X,Y）的所有可能取值是有限对或可列无限多对，则称（X,Y）为二维离散型随机变量显然，若（X,Y）是二维离散型随机变量，则其分量X和Y都是一维离散型随机变量，设(X,Y)是二维离散型随机变量，它所有可能的取值为(x,y,),i,j=1,2,.…：，记P(X=x，Y=y,})=Puj，i,j=1,2,…，则由概率的定义有Zp,=1（规范性）1.Pi,≥0（非负性）2.i,j我们称P(X=x，Y=y}=Puj，i,j=1,2,为二维离散变量(X,Y)的分布律，或随机变量X和Y的联合分布律我们可以用表格表示X和Y的联合分布律：XX2xYJP21..PuPity2Pi2P22Pi2..::::..yjPuP2jPy:::.例1设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1～X中等可能的取一个值．试求(X,Y)的分布律解：由乘法公式容易求得(Y,Y)的分布律.易知(X=i,Y=)的取值情况是：i=1,2,3,4,j取不大于i的正整数且28
28 3． ， F(x, y) 关于 x 和 y 均右连续． 4．对任意 1 1 2 2 1 2 1 2 (x , y ),(x , y ), x x , y y ，下述不等式成立： 2 2 2 1 1 1 1 2 F(x , y ) F(x , y ) F(x , y ) F(x , y ) 0 二、 二维离散型随机变量 与一维随机变量的情形类似，我们这里讨论的也是离散型和连续型这两种类型的二维随机变量． 定义：若二维随机变量(X ,Y) 的所有可能取值是有限对或可列无限多对，则称(X ,Y) 为二维离散型 随机变量． 显然，若 X, Y 是二维离散型随机变量，则其分量 X 和Y 都是一维离散型随机变量． 设(X , Y ) 是二维离散型随机变量，它所有可能的取值为( , ), , 1, 2, i j x y i j ， 记 { , } , , 1, 2, P X i j i j x Y y p i j ，则由概率的定义有 1. 0 i j p （非负性） 2. , 1 i j i j p （规范性） 我们称 { , } , , 1, 2, P X i j i j x Y y p i j 为二维离散变量(X , Y ) 的分布律，或随机变量 X 和Y 的联合分布律． 我们可以用表格表示 X 和Y 的联合分布律： 例 1 设随机变量 X 在1, 2,3, 4 四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y 在1 ~ X 中等可能 的取一个值．试求 (X , Y ) 的分布律． 解： 由乘法公式容易求得 (X , Y ) 的分布律． 易知{X i,Y j}的取值情况是：i 1, 2,3, 4, j 取不大于i 的正整数．且 F(x, y) F(x, y 0) 1 2 j y y y 11 21 1 12 22 2 1 2 i i j j ij p p p p p p p p p F(x, y) F(x 0, y) X Y 1 2 i x x x
1 1PX=i,Y=j=P(Y=jlX=iP(X=i)=i=1,2,3,4,j≤ii4于是（X,Y)的分布律为：2314X11/41/81/121/16201/81/121/163001/121/16将（X,Y）看成一个随机点的坐标，由图2知道离散型随机变量X和Y的联合分布律为F(x, J)=P(X≤x,Y≤y)=ZZ pu(1)x,<xy, sy例2一个袋中有三个球，依次标有数字1,2,2，从中任取一个，不放回袋中，再任取一个，设每次取球时各球被取到的可能性相等，以X，Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求X,Y的分布律.解：(X,Y)的可能取值为(1,2),(2,1),(2,2)12.1P(X =1,Y =2) =232=3211P(X =2,Y =1) =32"3'211PX =2.Y =2 :3231故(X,Y)的分布律为Pi = 0,Pi2 =P21 = P22 3X21Y01/321/31/3三、二维连续型随机变量与一维情形类似，我们有如下定义：定义设二维随机变量（X,Y）的分布函数为F(x,y)，若存在非负可积函数f(x,J)使得对于任意29
29 1 1 { , } { | } { } 4 P X i Y j P Y j X i P X i i ，i 1, 2,3, 4, j i 于是(X ,Y) 的分布律为： 将(X ,Y) 看成一个随机点的坐标，由图 2 知道离散型随机变量 X 和Y 的联合分布律为 ( , ) { , } i j i j x x y y F x y P X x Y y p （1） 例 2 一个袋中有三个球,依次标有数字1,2, 2 ， 从中任取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设 每次取球时各球被取到的可能性相等，以 X ,Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求 X ,Y 的分布律． 解：(X ,Y) 的可能取值为 (1, 2), (2,1), (2, 2), 1 2 1 { 1, 2} , 3 2 3 P X Y 2 1 1 { 2, 1} , 3 2 3 P X Y 2 1 1 { 2, 2} . 3 2 3 P X Y 11 12 21 22 1 0, , 3 p p p p 故(X ,Y) 的分布律为 三、 二维连续型随机变量 与一维情形类似，我们有如下定义： 定义 设二维随机变量(X ,Y) 的分布函数为 F(x, y) ，若存在非负可积函数 f (x, y) 使得对于任意 X 1 2 3 4 3 4 Y 1 1/4 1/8 1/12 1/16 4 2 0 1/8 1/12 1/16 4 3 0 0 1/12 1/16 4 X 1 2 4 Y 1 0 1/3 2 1/3 1/3 1/3