浙江科技大学：《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 留数及其应用 §3 留数在计算定积分中的应用

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结 束 返回 浙江科技学院 Zhejiang University of Science and Technology 第五章 留数及其应用

第2页第五章留数及其应用s 3 留数在计算定积分中的应用本节主要内容：考察三种类型的实函数的定积分的计算2元1、形如R(cosθ,sinの)d的积分：02、形如R(x)dx的积分;83、形如R(x)eaixdx的积分(a > 0)8结回束

结 束 返回 第五章 留数及其应用 第2页 §3 留数在计算定积分中的应用 本节主要内容： 考察三种类型的实函数的定积分的计算. 2 0 1 (cos ,sin ) ; R d     、形如 的积分 2 R x dx ( ) ; + − 、形如 的积分 3 ( ) ( 0). aix R x e dx a + −  、形如 的积分

第3页第五章留数及其应用?2T1、形如I =R(cos θ,sin )d0的积分这里R(sinQ,cosの)为sinO,cosθ的有理函数，且在[0,2元]上连续这类积分可以化为单位圆上的复变函数积分。dz令 z=ei,则 dz =deio =izdo,de :ize-ioz2-1eioeio-iz2 +1e+sin=cosO2i2iz22z则f(z)为z的有理函数，设f(z)=R2z2iz7且1f(z)dz结回束

结 束 返回 第五章 留数及其应用 第3页 2 0 1 (cos ,sin ) I R d  =    、形如  的积分 这类积分可以化为单位圆上的复变函数积分. 令 z = e i ,则 [0,2 ] . (sin ,cos ) sin , cos 在 上连续 这 里 为 的有理函数，且  R     ,  dz de izd i = = , i z dz d = = − = − i e e i i 2 sin    , 2 1 2 iz z − = + = − 2 cos    i i e e , 2 1 2 z z + 设 则f z 为z的有理函数， z i z z i z z f z R , ( ) 1 ) 2 1 , 2 1 ( ) ( 2 2 − + =  = = | | 1 ( ) . z 且 I f z dz

第4页第五章留数及其应用Rde2T例1 I=(a > 1)a+cos在高等数学中此积分一般是采用万能代换求解下面用复变函数的方法求解该题解：由于a>1,故a+cos±0.令z=ei,则i0-ioe+ecosO:22716.1dzz2+1 iz[z=1 a +2z结回D束

结 束 返回 第五章 留数及其应用 第4页 在高等数学中此积分一般是采用万能代换求解. 下面用复变函数的方法求解该题. 解： 2 0 ( 1). cos d I a a    =  + 例  1 令 z = e i ,则 由于a a  +  1, cos 0. 故  ), 1 ( 2 1 2 cos z z e e i i = + + =  −   2 1 1 1 1 2 z I dz z i z a z =  = + + 

第5页第五章留数及其应用?1$ f(z)dz.-2ibdz = l2l-1 z + 2az +1[z/=1法则3单极点)，f(z)在lzl=1内有一个极点zo=于是Re s[f(z), z0] = 2z+2a1-ava-Z=12Va?.2元-2i因此I=2元i-T结回00束

结 束 返回 第五章 留数及其应用 第5页 2 0 f z z z a a ( ) | | 1 1 ( ), 在 = = − + − 内有一个极点 单极点 2 1 | | 1 1 2 ( ) . 2 1 z z i dz f z dz z az = = = − = + +   于是 2 1 0 2 2 1 Re [ ( ), ] z a z a a s f z z + =− + − = = 因此 2 2 2 2 2 1 1 2 ( ) i a a I i   − − − = = 2 1 2 1 a − = 法则3