浙江科技学院Zhejiang University of Science and Technology第四章解析函数的幕级数表示结运回束
结 束 返回 浙江科技学院 Zhejiang University of Science and Technology 第四章 解析函数的 幂级数表示
第2页第四童解析函数的级数表示$4.3泰勒级数我们知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆内是解析函数，现在我们考虑与此相反的问题：一个解析函数是否能用幂级数来表示？1、泰勒展开定理对实函数而言，一个关键性条件是：应在展开点处具有任意阶导数对于复变函数来说，由于解析函数具有任意阶的导数，所以这一条件是满足的结回束
结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第2页 §4.3 泰勒级数 我们知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆 内是解析函数，现在我们考虑与此相反的问题： 一个解析函数是否能用幂级数来表示？ 1、泰勒展开定理 对实函数而言，一个关键性条件是：应在展开点 处具有任意阶导数. 对于复变函数来说，由于解析函数具有任意阶的 导数，所以这一条件是满足的
第3页第四童解析函数的级数表示预备知识1)(柯西积分公式)设f(z)在简单(或复合)闭曲线C上及所围区域D内解析,则对任意zED,皆有f()ds.1E-z2元81Zn/2）公式<11-un=03)解析函数的无穷可微性）f(s)ndsED)Zn+12元1结回束
结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第3页 3 预备知识 2）公式 0 1 1 n n u u = = − ( u <1 ) (z D ) 3) (解析函数的无穷可微性) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 ! 2 n n c n f f z d i z + = − 柯西积分公式 设 在简单(或复合)闭曲线 上及所围区域 内解析 则对任意 皆有 1) ( ) ( ) , , f z C D z D 1 ( ) ( ) . 2 C f f z d i z = −
第4页第四童解析函数的级数表示定理1（Taylor定理）设f(z)在区域D内解析,z E D,R为z.到D的边界上各点的最短距离则当z一zo<R时,8f(z)在z,点Z(1)f(z) =Cn(z-zo)的Taylor展开n=0其中c,n = 0,1,2,.:n!即10f(z)= f(z)+ f (z)(z-z)+72!f(n)(zo)ZZn!结回束
结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第4页 4 0 f z z ( ) Taylor 在 点 的 展开 定理1（Taylor定理） ( ), 0,1,2, . ! 1 ( ) ( ) (1) , , ( ) , , 0 ( ) 0 0 0 0 0 = = = − − = f z n n c f z c z z z z R f z D z D R z D n n n n n 其 中 上各点的最短距离则 当 时 设 在区域 内解析 为 到 的边界 0 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 ''( ) ( ) ( ) '( )( ) ( ) 2 ! ( ) ( ) ! n n f z f z f z f z z z z z f z z z n = + − + − + − + 即
第5页第四童解析函数的级数表示证明：设z为z-zR任意一点DS取k:- zo=r<R.Zok.Z由柯西积分公式1f()d*T2元i-Z1111注意到&SZ-Z0E-Zo-zE-Zo-(z-Zo)- Zo7.0=q<1-ZoC1+0n+1SSPz.)?-ZoS-Zo0结回H束
结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第5页 5 D k 0 z 证明： | | . 设z为 z − z0 R任意一点 1, 0 0 = − − q z z z 1 ( ) ( ) , (*) 2 k f f z d i z = − 由柯西积分公式 0 0 0 0 0 1 1 1 1 , ( ) 1 z z z z z z z z = = − − − − − − − − 注意到 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) . ( ) n n n n z z z z z z z z z z z z z z + = − − − − = + + + + + = − − − − − − 0 取k z r R : . − = .z