揭阳职业技术学院：《线性代数》课程授课教案

揭阳职业技术学院师范教育系《线性代数》教案(2024-2025学年第2学期）教师姓名：章慧芬所授专业：小学教育授课班级：241

1 师范教育系 《线性代数》教案 (2024-2025 学年第 2 学期) 教师姓名: 章慧芬 所授专业: 小学教育 授课班级: 241

周授课时间第1-3课次第1-3次章节第一章行列式H称授课教学10理论课（）、实践课（）、习题题（）、其它（时数方式1.会用对角线法则计算2阶和3阶行列式；2.知道n阶行列式的定义：教学3.知道n阶行列式的性质；目的要求4.知道代数余子式的定义和性质；5.会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的n阶行列式；思政育1、培养科学精神与严谨态度人目标2、强化逻辑思维与问题解决能力教学讲解法、练习法方法教学1.理解行列式的定义；重点2.行列式的计算，要注重学会利用行列式的性质及按行（列)展开等方法来简化行列式难点的计算。教学步骤及内容：首先通过二（三）元线性方程组的解的表达式引出二（三）阶行列式的定义。然后介绍有关全排列及其逆序数的知识，引出n阶行列式的定义。通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学生了解行列式的三种等价定义。以从行列式的定义为切入口，引导学生探讨行列式的各种性质。强调数学公理化背后的科学精神，联系中国科学家华罗庚在数学领域的成就，增强学生的民族自豪感和使命感。通过大量的例题引导学生掌握如何利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。最后知道克拉默法则，了解数学家克拉默的故事，调动学生学习的积极性和创造性。简要知识点与例题：1.计算排列的逆序数的方法设p，P2p,是1,2，gg，n这n个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。先看有多少个比p大的数排在p前面，记为t：2

2 授课时间 第 1-3 周 课 次 第 1-3 次 章 节 名 称 第一章 行列式 授 课 方 式 理论课（ ✓ ）、实践课（ ）、习题题（ ✓ ）、其它（ ） 教学 时数 10 教 学 目 的 要 求 1.会用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式； 2.知道 n 阶行列式的定义； 3.知道 n 阶行列式的性质； 4.知道代数余子式的定义和性质； 5.会利用行列式的性质及按行(列)展开计算简单的 n 阶行列式； 思政育 人目标 1、培养科学精神与严谨态度 2、强化逻辑思维与问题解决能力 教 学 方 法 讲解法、练习法 教 学 重 点 难 点 1.理解行列式的定义； 2.行列式的计算，要注重学会利用行列式的性质及按行(列)展开等方法来简化行列式 的计算。 教学步骤及内容： 首先通过二（三）元线性方程组的解的表达式引出二（三）阶行列式的定义。然后介绍有关全排列 及其逆序数的知识，引出n 阶行列式的定义。通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学 生了解行列式的三种等价定义。以从行列式的定义为切入口，引导学生探讨行列式的各种性质。强 调数学公理化背后的科学精神，联系中国科学家华罗庚在数学领域的成就，增强学生的民族自豪感 和使命感。通过大量的例题引导学生掌握如何利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化 行列式的计算。 最后知道克拉默法则，了解数学家克拉默的故事，调动学生学习的积极性和创造性。简要知识点与 例题： 1. 计算排列的逆序数的方法 设p1 p2 ggg pn是1,2, ggg ,n这n个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。 先看有多少个比p1大的数排在p1前面，记为t1；

再看有多少个比pa大的数排在pz前面，记为t2；.最后看有多少个比p,大的数排在p,前面，记为t。；则此排列的逆序数为t=t，+t+gg=t。2.n阶行列式aua2..aina2a22..aaD=E(-1)'apa2pap....anan2am其中pPp,为自然数1,2，"，n的一个排列，t为这个排列的逆序数。对角线法则：只对二阶和三阶行列式适用。aa2D==aia22—a221[a21 a2a12a13D=a21a22a23=aa223+a2122-a21-22-a2g2L[a31 a32a33例：写出4阶行列式中含有aα23的项。解：1a233442和a123324400010200例：计算行列式D=03004000解：D=(-1)0+++3×1×2×3×4=243.行列式的性质(1)行列式D与它的转置行列式D’相等。(2)对换行列式的两行列)，行列式变号。(3)行列式的某一行（列)中所有元素都乘同一个数k，等于用数k乘此行列式；或者行列式中某一行（列）的所有元素有公因子k，则k可以提到行列式记号的外面。（4)行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。3

3 再看有多少个比p2大的数排在p2 前面，记为t2； ⋯ ⋯ 最后看有多少个比pn大的数排在pn前面，记为tn ； 则此排列的逆序数为t= t1 +t2+ ggg= tn。 2. n 阶行列式 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 ( 1) n n n t p p np n n nn a a a a a a D a a a a a a             其中 1 2 n p p  p 为自然数1,2,  ，n的一个排列，t为这个排列的逆序数。 对角线法则：只对二阶和三阶行列式适用。 11 12 11 22 12 21 21 22 a a D a a a a a a    11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 31 32 33 a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a        例：写出4阶行列式中含有 11 23 a a 的项。 解： 11 23 34 42 a a a a 和 11 23 32 44 a a a a 。 例：计算行列式D= 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 0 。 解： 0 1 2 3 D ( 1) 1 2 3 4 24           . 3.行列式的性质 (1)行列式 D 与它的转置行列式 T D 相等。 (2)对换行列式的两行(列)，行列式变号。 (3)行列式的某一行(列)中所有元素都乘同一个数k，等于用数k乘此行列式；或者行列式中某一行 (列)的所有元素有公因子k,则k可以提到行列式记号的外面。 (4)行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零

(5)若行列式的某一行（列)的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。(6)把行列式的某一行（列)的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变4.行列式的按行(列)展开(1)在n阶行列式中，把(i,j)元a，所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元a的余子式，记作M,；记A,=(-1)"Mg，则称A,为（i,j)元a,的代数余子式。(2)行列式等于它任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即可以按第i行展开：D=a,A, +ajz2A2 +gg+amAn(i =1,2,ggn)可以按第j列展开：D=aijA2,+ai2A2+8gamA(j = 1,2,gg,n)(3）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即a1A, +ai2Aj2 +8+amAm= 0(ij)或(ij)arA, +a2;A2, +g8g+amA, = 05.克拉默法则含有n个未知数X,x2，",x，的n个线性方程的方程组a,+ai2x2+..+ainxn=ba21 +a22x2 +...+a2nxn=b,aX,+an2X2+...+amX,=b.当b，b,，…,b，全为零时，称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。D((i=1,2,…,n)，其中(1)如果方程组的系数行列式D+0，那么它有唯一解：予=告D,(i=1,2",n)是把系数行列式D中第i列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式。(2)如果线性方程组无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式D=0。（3）如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0，那么它只有零解：如果齐次线性方程组有非零解，那么它的系数行列式必定等于零。用克拉默法则解线性方程组的两个条件：（1)方程组个数等于未知元个数：（2)系数行列式不等于零。6.一些常用的行列式4

4 (5)若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。 (6)把行列式的某一行(列)的各元素乘同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变。 4.行列式的按行(列)展开 (1)在n阶行列式中，把(i,j)元 ij a 所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元 ij a 的余子式，记作 Mij ；记 ( 1) i j Aij Mij    ，则称 Aij 为(i,j)元 ij a 的代数余子式。 (2)行列式等于它任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即可以按第i行展开： 1 1 2 2 ( 1,2, , ) D i i i i in in  a A  a A ggga A i  ggg n 可以按第j列展开： 1 2 2 2 ( 1,2, , ) D j j i i nj nj  a A  a A ggga A j  gggn (3)行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 1 1 2 2 0 ( ) i j i j in jn a A  a A ggga A  i  j 或 1 1 2 2 0 ( ) i j i j ni nj a A  a A ggga A  i  j 5.克拉默法则 含有n个未知数 1 2 , , , n x x  x 的n个线性方程的方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                       当 1 2 , , , n b b  b 全为零时，称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。 (1) 如 果 方 程 组 的 系 数 行 列 式 D  0 ， 那 么 它 有 唯 一 解 ： i i D D x  (i 1,2,,n) ， 其 中 Di (i 1,2,,n) 是把系数行列式 D 中第i列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行 列式。 (2)如果线性方程组无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式 D  0 。 (3)如果齐次线性方程组的系数行列式 D  0，那么它只有零解；如果齐次线性方程组有非零解，那 么它的系数行列式必定等于零。 用克拉默法则解线性方程组的两个条件：(1)方程组个数等于未知元个数；(2)系数行列式不等于零。 6.一些常用的行列式

(1)上、下三角形行列式等于主对角线上个元素的乘积。(课本P7)特别地，对角行列式等于对角线元素的乘积。（课本P7)(2)范德蒙行列式（课本P18例12)计算行列式常用方法：（(1)利用定义；(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。例：课本P12例7-例9例：课本P17例7(续)例：课本P20例13复习思考题、作业题：P21 习题一1,2,4,5,6(1),8,9下次课预习要点第二章矩阵及其运算教学记后 授课时间第4-6周课次第4-6次章节第二章矩阵及其运算名称授课教学10理论课（v）、实践课（）、习题题（v）、其它（时数方式1、理解矩阵概念，了解单位矩阵，对角矩阵，对称矩阵的定义及其性质。教学2、掌握矩阵的运算，即矩阵的加法、数乘、乘法、转置、方阵的行列式的运算规律。目的要求3、理解逆矩阵的概念，知道逆矩阵存在的条件并会求逆矩阵。4、熟悉矩阵分块及利用矩阵分块法对矩阵进行运算。思政育1、强调矩阵运算的严格定义，引导学生理解数学的精确性人目标2、强化科技报国与实际问题解决能力，例北斗卫星定位等教学讲解法、练习法方法

5 (1)上、下三角形行列式等于主对角线上个元素的乘积。(课本P7) 特别地，对角行列式等于对角线元素的乘积。(课本P7) (2)范德蒙行列式(课本P18 例12) 计算行列式常用方法：(1)利用定义；(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式 的值。 例：课本P12 例7-例9 例：课本P17 例7(续) 例：课本P20 例13 复习思考题、作业题： P21 习题一 1,2,4,5,6(1),8,9 下次课预习要点 第二章矩阵及其运算 教 学 后 记 授课时间 第 4-6 周 课 次 第 4-6 次 章 节 名 称 第二章 矩阵及其运算 授 课 方 式 理论课（√）、实践课（ ）、习题题（√）、其它（ ） 教学 时数 10 教 学 目 的 要 求 1、理解矩阵概念，了解单位矩阵，对角矩阵，对称矩阵的定义及其性质。 2、掌握矩阵的运算，即矩阵的加法、数乘、乘法、转置、方阵的行列式的运算规律。 3、理解逆矩阵的概念，知道逆矩阵存在的条件并会求逆矩阵。 4、熟悉矩阵分块及利用矩阵分块法对矩阵进行运算。 思政育 人目标 1、强调矩阵运算的严格定义，引导学生理解数学的精确性 2、强化科技报国与实际问题解决能力，例北斗卫星定位等 教 学 方 法 讲解法、练习法