浙江科技学院Zhejiang University of Science and Technology第四章解析函数的幂级数表示结运回束
结 束 返回 浙江科技学院 Zhejiang University of Science and Technology 第四章解析函数的幂 级数表示
第2页第四章解析函数的塞级数表示s 4 洛朗(Laurent)级数例如， f(z)=在z=0及z=1都不解析一z(1- z)但在圆环域0<z<1及0<z-1<1内都是解析的在圆环域 0<<1内:1f(z) =z(1- z)7.1而+z? +...+z"+...,z<11- z1所以 f(z)=+1+z+z?+...+z"+..z(1 - z)即f(z)在0<z<1内可以展开成级数结回D束
结 束 返回 第四章解析函数的幂级数表示 第2页 在圆环域 0 z 1内: 例如， 0 1 (1 ) 1 ( ) = = − = z z z z f z 在 及 都不解析, 但在圆环域 0 z 1 及 0 z − 1 1 内都是解析的. (1 ) 1 ( ) z z f z − = 而 1 , 1 1 1 2 = + + + + + − z z z z z n , 1 1 1 z − z = + 所以 (1 ) 1 ( ) z z f z − = 1 , = z −1 + + z + z 2 ++z n + 即 f (z)在 0 z 1 内可以展开成级数. §4 洛朗(Laurent)级数
第3页第四章解析函数的舞级数衰示在圆环域0<z-1<1内,也可以展开成级数：1f(z)z(1-z) 1-z1-(1-z)1 +(1- z)+(1-z)? +...+(1 - z)" + ...=(1-z)-1 +1+(1-z) +(1-z) +(1- z)n-1 +..由此推想，若f()在Ri<z-zol<R2 内解析，f(z)可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项，即f(z) = ...+ c-n(z - zo)-n +..+c-i(z - zo)-I +Co+ci(z-zo)+...+cn(z-zo)" +.结00运回束
结 束 返回 第四章解析函数的幂级数表示 第3页 在圆环域0 z −1 1内， 也可以展开成级数： (1 ) 1 ( ) z z f z − = (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) . = − z −1 + + − z + − z 2 + − z n−1 + + − + − ++ − + − = n z z z z 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 1 2 − − − = 1 (1 ) 1 1 1 z z + − + + − + = + − + + − + − − − − n n n n c z z c z z f z c z z c z z c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 1 0 1 0 由此推想，若f (z) 在R 1<z - z0 <R2 内解析, f (z) 可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即
第4页第四章解析函数的幂级数表示1、双边幂级数--含有正负幂项的级数定义具有如下形式的级数8Z c,(z-zo)" =..+c,(z-zo)" +..+ c.(z- zo)--n=-0+c +ci(z -zo)+...+c,(z -zo)" +...(l)称为双边幂级数，其中z及c,(n=0,±1,±2,.)都是常数正幂项(包括常数项)部分：8Zc,(z-z)" =C +c(z-zo).+c,(z-z)".,(2)n=0负幂项部分：2-(- 0)" -.-(-- ,).+(-)"*(3)n=l结运回DO束
结 束 返回 第四章解析函数的幂级数表示 第4页 4 1、 双边幂级数 -含有正负幂项的级数 定义 具有如下形式的级数 1 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) n n n n n c z z c z z c z z − − − − =− − = + − + + − 称为双边幂级数， 正幂项(包括常数项)部分： ( ) ( ) ( ) ,(2) 0 1 0 0 0 − 0 = + − ++ − + = n n n n n c z z c c z z c z z ( 0, 1, 2, ) . 其中z0 及cn n = 都是常数 负幂项部分： ( ) ( ) ( ) .(3) 0 1 1 0 1 − 0 = − − − ++ − − − + = − − n n n n n c z z c z z c z z 0 1 0 0 ( ) ( ) (1) n n + + − + + − + c c z z c z z
第5页第四章解析函数的级数表示E c,(z-zo)"双边幂级数n=-0n=00Zc,(z-zo)"=Zc(z-zo)-"c,(z-zo)"+n=0n=1n=-0负幂项部分非负幂项部分收敛主要部分解析部分同时收敛f (z)+fi(z)f(z)结回DO束
结 束 返回 第四章解析函数的幂级数表示 第5页 − = = =− n n n n c (z z ) 0 双边幂级数 0 ( )n n n c z z =− − 同时收敛 n n n n n n c (z z ) c (z z ) 0 0 0 1 − + − = − = − f2 (z) f (z) 解析部分 非负幂项部分 f1 (z) 主要部分 负幂项部分 收敛