揭阳职业技术学院：《概率论与数理统计》课程授课教案

3.对任意的实数a.b,c(a<b)，都有P/a<X≤b)=PX≤b)-P(X ≤a)=F(b)-F(a),P(X>c)=1-P(X≤c)=1-F(c).4.分布函数的性质：（1）单调性：分布函数是单调不减的，即若x,<x2，则F(x)≤F(xz)；(2) 有界性: 0≤F(x)≤1,且F(-00)= lim F(x)=0,F(+o0)=lim F(x)=1,(3）右连续性：F(x+0)=F(x).说明：分布函数一定具有这三个基本性质：反过来，任意一个满足这三个基本性质的函数，定可以作为某个随机变量的分布函数因此，这三个基本性质成为判别一个函数是否能成为分布函数的充要条件三．例题讲解例1.通过某公交站牌的汽车每10分钟一辆，随机变量X为乘客的候车时间，其分布函数为：0,x<0,X,0≤x<10,F(x)=101,x≥10求: (1) P(X≤3) : (2) P(1<X≤9); (3) P(X>5)例2.设随机变量X的分布函数为b>0(1 + x)2F(x) =lc,xso求常数a，b，c的值？例3.在半径为R，球心为0的球内任取一点P，令X为OP的长度，求X的分布函数，82离散型随机变量及其分布律一：离散型随机变量及其概率分布1.离散型随机变量：若随机变量X所有可能的取值为有限个或者可列个，则称这样的随机变量为离散型随机变量，2.随机变量的概率分布：设X为离散型随机变量，X所有可能的取值为x,i=1,2,3..，称PX = x,} = p,i=1,2,3...为随机变量X的概率分布，也称为分布律或分布列，概率分布也可以用表格的形式表示：15

15 3．对任意的实数 a,b,c(a  b) ，都有： P{a  X  b}  P{X  b} P{X  a}  F(b)  F(a) , PX  c 1 PX  c 1 F(c) . 4．分布函数的性质： （1）单调性：分布函数是单调不减的，即若 1 2 x  x ，则 1 2 F(x )  F(x )； （2）有界性：0  F(x) 1，且 F F x x ()  lim ( )   0， ( ) lim ( ) 1; x F F x     （3）右连续性： F(x  0)  F(x) ． 说明：分布函数一定具有这三个基本性质；反过来，任意一个满足这三个基本性质的函数，一 定可以作为某个随机变量的分布函数．因此，这三个基本性质成为判别一个函数是否能成为分布函 数的充要条件. 三．例题讲解 例 1.通过某公交站牌的汽车每 10 分钟一辆，随机变量 X 为乘客的候车时间，其分布函数为： 0, 0, ( ) ,0 10, 10 1, 10. x x F x x x           求：（1） P{X  3}；（2） P{1 X  9}；（3） P{X  5} . 例 2．设随机变量 X 的分布函数为 2 , 0 ( ) (1 ) , 0 b a x F x x c x           求常数 a，b，c 的值？ 例 3．在半径为 R，球心为 O 的球内任取一点 P，令 X 为 OP 的长度，求 X 的分布函数． §2 离散型随机变量及其分布律 一．离散型随机变量及其概率分布 1．离散型随机变量：若随机变量 X 所有可能的取值为有限个或者可列个，则称这样的随机变量 为离散型随机变量． 2．随机变量的概率分布：设 X 为离散型随机变量，X 所有可能的取值为 , 1,2,3,. i x i  ，称 { } , 1,2,3,. P X i i  x  p i  为随机变量 X 的概率分布，也称为分布律或分布列． 概率分布也可以用表格的形式表示：

."..XXiX2X.PPiP2Pi或者记为：x..PP2.. ...3.离散型随机变量概率分布的性质：(1)非负性：p,≥0,i=1,2,3..2p.=1.（2）正则性：i=l4.离散型随机变量的分布函数：若离散型随机变量X的分布律为P(X=x,)=P,i=1,2,3,.,则X的分布函数为F(x) = P(X ≤x) = ZP(X = x],i =1,2,3,..x,Sx即分布函数是分布律在一定范围内的累积.二．常用的离散型随机变量1.（0-1）分布（1）（0-1）分布：若随机变量X只有两个可能的取值0和1，其分布律为P(X=k)=p*(1-p)-,k=0,1，则称X服从以p为参数的（0-1）分布或两点分布（2）（0-1）分布的分布律也可以记为X01P1-pp2.二项分布（1）二项分布：若随机变量X表示n重伯努利试验中事件A出现的次数，则有PX =k}=Ckp*(1-p)"-k,k=0,1,2,.-.,n则称随机变量X服从二项分布，记为X~B(n,p)，其中n和p(O<p<I)是二项分布的参数，上式就是二项分布的分布律（2）二项分布的特例：在二项分布中，若令IF-1，则X~B(1,p)，其分布律为P(X=k)=p*(1-p)"-k,k=0,1，即X服从（0-1）分布.因此（0-1）分布是二项分布的特例，简16

16 X 1 x 2 x . i x . P 1 p 2 p . i p . 或者记为： 1 2 1 2 . . . . i i x x x p p p       3．离散型随机变量概率分布的性质： （1）非负性： 0, 1,2,3,.; i p  i  （2）正则性： 1 1. i i p    4．离散型随机变量的分布函数：若离散型随机变量 X 的分布律为 { } , 1,2,3,. P X i i  x  p i  ， 则 X 的分布函数为 ( ) { } { }, 1,2,3,. i i x x F x P X x P X x i        即分布函数是分布律在一定范围内的累积． 二．常用的离散型随机变量 1.（0-1）分布 （ 1 ）（ 0-1 ） 分 布 ： 若 随 机 变 量 X 只 有 两 个 可 能 的 取 值 0 和 1 ， 其 分 布 律 为 1 { } (1 ) , 0,1 k k P X k p p k      ，则称 X 服从以 p 为参数的（0-1）分布或两点分布. （2）（0-1）分布的分布律也可以记为 X 0 1 P 1-p p 或 0 1 1 p p        . 2．二项分布 （1）二项分布：若随机变量 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 出现的次数,则有 { } (1 ) , 0,1,2,., k k n k P X n k C p p k n      . 则称随机变量 X 服从二项分布，记为 X  B(n, p)，其中 n 和 p (0 p 1) 是二项分布的参数，上式 就是二项分布的分布律. （ 2 ） 二 项 分 布 的 特 例 ： 在 二 项 分 布 中 , 若 令 n=1, 则 X  B(1, p) ， 其 分 布 律 为 1 { } (1 ) , 0,1 k k P X k p p k      ，即 X 服从（0-1）分布.因此（0-1）分布是二项分布的特例，简

记 B(1,p).3.泊松分布24（1）泊松分布：若随机变量X的分布律为P(X=k)：-,k=0,1,2.，其中入为大于0k!的参数，则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X～P(2).（2）泊松定理：在n重伯努利试验中，事件A在一次试验中出现的概率为P，（与试验总数n有关),如果当n→+0时, p,→(a>0常数),则有limC:p(1-P,)=ee-,k=0,1,2,..k!（3）说明：泊松定理表明，泊松分布为二项分布的极限分布，即在试验次数n很大，而np，不太大时，二项分布可以用参数为入=np，的泊松分布来近似4.几何分布(1)若随机变量X的分布律为P(X=k)=pq-,k=1,2*q=1-p，其中p(0<p<1)为参数，则称X服从几何分布，记为X～G().（2）说明：几何分布描述的是试验首次成功的次数X所服从的分布，也可以解释为：在n重伯努利试验中，试验到第k次才取得第一次成功，前k-1次皆失败，5.超几何分布(1） 超几何分布：若随机变量 X的分布律为 P(X=k)=-CCrm,k=0,2.r,其中CNr=min(M,n)，且M≤N,n≤N,n,N,M均为正整数，则称随机变量X服从超几何分布，记为X ~H(n,N,M).（2）有限总体N中的不放回抽样服从超几何分布，例如有N件产品，其中M件不合格，从产品中不放回的抽取Ⅱ件，则抽取的产品中不合格品的件数X服从超几何分布.（3）超几何分布与二项分布之间的区别：超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取，因此，二项分布中每个事件之间是相互独立的，而超几何分布不独立.两个分布之间也有联系，当总体的容量N非常大时，超几何分布近似于二项分布三例题讲解例1.已知盒中有10件产品，其中8件正品，2件次品.需要从中取出2件正品，每次取1件，直到取出两件正品为止，做不放回抽样.设X为取件的次数，则：（1）求X的分布律；（2）求X的分17

17 记 B(1, p) . 3. 泊松分布 （1）泊松分布：若随机变量 X 的分布律为 { } , 0,1,2,. ! k P X k e k k      ，其中 为大于 0 的参数，则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X  P()． （2）泊松定理：在 n 重伯努利试验中，事件 A 在一次试验中出现的概率为 n p （与试验总数 n 有关），如果当n   时， ( 0 ) n np     常数 ，则有 lim (1 ) , 0,1,2, ! k k k n k n n n n C p p e k k        . （3）说明：泊松定理表明，泊松分布为二项分布的极限分布，即在试验次数 n 很大，而 n np 不 太大时，二项分布可以用参数为 n   np 的泊松分布来近似． 4. 几何分布 （1）若随机变量 X 的分布律为 1 { } , 1, 2,., 1 k P X k pq k q p       ，其中 p(0  p  1) 为 参数，则称 X 服从几何分布，记为 X  G( p) ． （2）说明：几何分布描述的是试验首次成功的次数 X 所服从的分布，也可以解释为：在 n 重伯 努利试验中，试验到第 k 次才取得第一次成功，前 k-1 次皆失败． 5. 超几何分布 （1）超几何分布：若随机变量 X 的分布律为 { } , 0,1,2,., . k n k M N M nN C C P X k k r C      其中 r  min{M,n}，且 M  N,n  N,n,N,M 均为正整数，则称随机变量 X 服从超几何分布，记为 X  H(n,N,M ) ． （2）有限总体 N 中的不放回抽样服从超几何分布，例如有 N 件产品，其中 M 件不合格，从产品 中不放回的抽取 n 件，则抽取的产品中不合格品的件数 X 服从超几何分布． （3）超几何分布与二项分布之间的区别：超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取，因 此，二项分布中每个事件之间是相互独立的，而超几何分布不独立.两个分布之间也有联系，当总体 的容量 N 非常大时，超几何分布近似于二项分布. 三．例题讲解 例 1.已知盒中有 10 件产品，其中 8 件正品，2 件次品.需要从中取出 2 件正品，每次取 1 件， 直到取出两件正品为止，做不放回抽样.设 X 为取件的次数，则：（1）求 X 的分布律；（2）求 X 的分

布函数F(x)：（3）求概率P(2≤X≤3)例2.金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的.现在当地电力供应紧张，供电部门只提供50于瓦的电力给这10台机床，问这10台机床能够正常工作的概率有多大？例3.有2500个相同年龄阶段、相同社会层次的人参加某保险公司的意外伤害保险，根据以往统计资料，在1年里每个人出现意外伤害的概率是0.0001，每个参加保险的人1年付给保险公司120元保费，而在出现意外时家属从保险公司领取2万元.请计算（1）保险公司号本的概率：（2）保险公司一年获利不少于10万元的概率例4.一家商店在每个月的月底要制定出下个月的商品进货计划，为了不使商品的流动资金积压，进货量不宜过多，但为了获得足够的利润，进货量又不易过少，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售可以用参数为入=10的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？例5.某公司订购了一种型号的加工机床，机床的故障率为1%，各台机床之间是否出现故障是相互独立的，求在100台此类机床中，故障的台数不超过三台的概率。例6.某流水线生产一批产品，其不合格率为p，有放回地对产品进行检验，直到检验出不合格品为止.设随机变量X为首次检验出不合格品所需要的检验次数，求X的概率分布复习思考题、作业题：P55习题1-5下次课预习要点$4连续型随机变量及其概率密度$5随机变量的函数的分布第二章习题课在讲述离散型随机变量的分布律与分布函数二者的关系时，可以这样安排：1、已知分布函数，求分布律经验总结：分两步骤第一步：找出分布函数各定义域的分界点，它们就是随机变量所取的各个值；第二步：把后一个分布函数减去前一个分布函数，即为分布律表格中所对应的概率值。教学2、已知分布律，求分布函数后记经验总结：分两步骤第一步：画一条数轴，分布律中随机变量的各个值把这条数轴划分为各个小区间（区间写成左闭右开形式），这些小区间就是分布函数的各个定义域：第二步：分布函数总第一个值总是0，最后一个值总是1，第二个值即为分布律表格中第一个概率值，第三个值即为分布律表格中第一、二个概率值之和，第四个值即为分布律表格中第一、二、三个概率值之和以此类推。第4周授课时间课次第4次第二章随机变量及其分布章节84连续型随机变量及其概率密度名称85随机变量的函数的分布18

18 布函数 F(x) ；（3）求概率 P{2  X  3} . 例 2.金工车间有 10 台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为 10 千瓦，已知每台机床工 作时，平均每小时实际开动 12 分钟，且开动与否是相互独立的.现在当地电力供应紧张，供电部门 只提供 50 千瓦的电力给这 10 台机床，问这 10 台机床能够正常工作的概率有多大？ 例 3.有 2500 个相同年龄阶段、相同社会层次的人参加某保险公司的意外伤害保险，根据以往统 计资料，在 1 年里每个人出现意外伤害的概率是 0.0001，每个参加保险的人 1 年付给保险公司 120 元保费，而在出现意外时家属从保险公司领取 2 万元.请计算 （1）保险公司亏本的概率； （2）保险公司一年获利不少于 10 万元的概率. 例 4.一家商店在每个月的月底要制定出下个月的商品进货计划，为了不使商品的流动资金积 压，进货量不宜过多，但为了获得足够的利润，进货量又不易过少．由该商店过去的销售记录知道， 某种商品每月的销售可以用参数为  10的泊松分布来描述，为了以 95%以上的把握保证不脱销， 问商店在月底至少应进某种商品多少件？ 例 5.某公司订购了一种型号的加工机床，机床的故障率为 1%，各台机床之间是否出现故障是相 互独立的，求在 100 台此类机床中，故障的台数不超过三台的概率. 例 6.某流水线生产一批产品，其不合格率为 p，有放回地对产品进行检验，直到检验出不合格品为 止.设随机变量 X 为首次检验出不合格品所需要的检验次数，求 X 的概率分布. 复习思考题、作业题： P55 习题 1-5. 下次课预习要点 §4 连续型随机变量及其概率密度 §5 随机变量的函数的分布 第二章习题课 教 学 后 记 在讲述离散型随机变量的分布律与分布函数二者的关系时，可以这样安排： 1、 已知分布函数，求分布律 经验总结：分两步骤 第一步：找出分布函数各定义域的分界点，它们就是随机变量所取的各个值； 第二步：把后一个分布函数减去前一个分布函数，即为分布律表格中所对应的概率值。 2、 已知分布律，求分布函数 经验总结：分两步骤 第一步：画一条数轴，分布律中随机变量的各个值把这条数轴划分为各个小区间(区间 写成左闭右开形式)，这些小区间就是分布函数的各个定义域； 第二步：分布函数总第一个值总是 0，最后一个值总是 1，第二个值即为分布律表格 中第一个概率值，第三个值即为分布律表格中第一、二个概率值之和，第四个值即为 分布律表格中第一、二、三个概率值之和.以此类推。 授课时间 第 4 周 课 次 第 4 次 章 节 名 称 第二章 随机变量及其分布 §4 连续型随机变量及其概率密度 §5 随机变量的函数的分布

第二章习题课教学授课3理论课（V）、实践课（）、习题课（）、其它（方式时数1.理解连续性随机变量及其概率密度的概念，掌握概率密度与分布函数之间的关系，教学掌握正态分布、均匀分布、指数分布及其应用。目的要求2.会求简单随机变量函数的概率分布。教学讲授、课堂提问、讨论、启发、自学方法重点：连续性随机变量及其概率密度的概念，概率密度与分布函数之间的关系，正态教学分布、均匀分布、指数分布及其应用；简单随机变量函数的概率分布。重点难点：概率密度与分布函数之间的关系，正态分布、均匀分布、指数分布及其应用：难点简单随机变量函数的概率分布的求法。教学步骤及内容：S4连续型随机变量及其概率密度：连续型随机变量及其概率密度1.连续型随机变量：设X是随机变量，如果存在函数f(x)，对任意的常数a,b(a≤b)，有P(a≤X≤b)= f"f (x)dx,则称X为连续型随机变量，同时称f(x)为X的概率密度函数，或简称为概率密度，2.概率密度函数的性质：（1）非负性：f(x)≥0；(2）正则性：「f(x)dx=1.3.概率密度的几何意义：随机变量落入区间[a,b]内的概率等于曲线y=f(x)在区间[a,b]上形成的曲边梯形的面积，而正则性表明，曲线y=f(x）与x轴之间的部分面积为1.4.连续型随机变量的分布函数：F(x)=P(X≤x)=/(y)dy，则在f(x)的连续点处，F'(x)= f(x).5.两点说明：(1)）连续型随机变量在某一个点c处的概率为0,即P(X=c)=[°f(x)dx=0（2）连续型随机变量落在某个区间内的概率，不受区间端点处取值的影响，即P(a<X≤b)=P(a≤X<b)=P(a≤X≤b)=P(a<X<b)J f(y)dy= F(b)- F(a).二．常用的连续型随机变量1.均匀分布19

19 第二章习题课 授 课 方 式 理论课（√）、实践课（ ）、习题课（ √ ）、其它（ ） 教学 时数 3 教 学 目 的 要 求 1. 理解连续性随机变量及其概率密度的概念，掌握概率密度与分布函数之间的关系， 掌握正态分布、均匀分布、指数分布及其应用。 2. 会求简单随机变量函数的概率分布。 教 学 方 法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教 学 重 点 难 点 重点：连续性随机变量及其概率密度的概念，概率密度与分布函数之间的关系，正态 分布、均匀分布、指数分布及其应用；简单随机变量函数的概率分布。 难点：概率密度与分布函数之间的关系，正态分布、均匀分布、指数分布及其应用； 简单随机变量函数的概率分布的求法。 教学步骤及内容： §4 连续型随机变量及其概率密度 一．连续型随机变量及其概率密度 1．连续型随机变量：设 X 是随机变量，如果存在函数 f (x) ，对任意的常数 a,b(a  b) ，有   ( ) , b a P a  X  b  f x dx  则称 X 为连续型随机变量，同时称 f (x)为 X 的概率密度函数，或简称为概率密度． 2．概率密度函数的性质： （1）非负性： f (x)≥0； （2）正则性： f (x)dx 1     ． 3．概率密度的几何意义：随机变量落入区间[a,b]内的概率等于曲线 y  f (x) 在区间[a,b]上 形成的曲边梯形的面积，而正则性表明，曲线 y  f (x) 与 x 轴之间的部分面积为 1． 4．连续型随机变量的分布函数：   ( ) x F x P X x f y dy    （ ）  = ,则在 f (x) 的连续点处， F(x)  f (x) . 5．两点说明： （1）连续型随机变量在某一个点 c 处的概率为 0,即 { } ( ) 0. c c P X  c  f x dx   （2）连续型随机变量落在某个区间内的概率,不受区间端点处取值的影响,即 P{a  X  b}  P{a  X  b}  P{a  X  b}  P{a  X  b} ( ) ( ) ( ) b a  f y dy  F b  F a  . 二．常用的连续型随机变量 1.均匀分布