浙江科技学院Zhejiang University of Science and Technology第五章留数及其应用结运回束
结 束 返回 浙江科技学院 Zhejiang University of Science and Technology 第五章 留数及其应用
第2页第五章留数及其应用留数$ 5.21、留数的定义1.1 引入若f(z)在C及C所围成的区域内解析，则Φ_f(z)dz=0;若f(z)在C内有的奇点，则Φf(z)d未必为0.P. f(z)dz = ?2sin二dz=4元ie"dz=2元ic_,=2元iZ[z/=1[z/=3设z是f(z)的一个有限孤立奇点，则cn(z-zo)", 0<z-zol<r.f(z) ==0结回DO束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第2页 1、 留数的定义 ( ) ( ) , 0 . ( ) 0 0 0 f z c z z z z r z f z n n = n − − =− 设 是 的一个有限孤立奇点，则 若 ( ) ( ) 0 在 及 所围成的区域内解析，则 ； C f z C C f z dz = §5.2 留 数 1.1 引入 若f z C f z dz ( ) ( ) 0. 在 内有的奇点，则C 未必为 1 1 | | 1 2 2 z z e dz ic i − = = = 1 | | 3 2 sin 4 z dz i z = = ( ) ？ C f z dz =
第3页第五章留数及其应用中取C为0<z-z<r内，且包含z,的一条简单闭曲线，则两边沿曲线C逐项积分,得：ff(z)dz=ch(z-zo)"dz =c(z-z)"dz-80n=+(z - zo)-" dz +..+c--(z- zo)-'dz +...=...+c..2元i(高阶导数公式) Codz +oci(z - zo)dz + ...Cn(z - zo)" dz + .+C(柯西-古萨基本定理=2元ic-1洛朗级数中负幂项c-(z-zo)-的系数结00回束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第3页 两边沿曲线C逐项积分,得： 0 ( ) ( )n n C C n f z dz c z z dz =− = − + c z + c z − z z ++ c z − z n z + C n C C 0d 1 ( 0 )d ( 0 ) d = + − − − ++ − − − + C C n n c (z z ) dz c (z z ) dz 1 0 1 0 0 (高阶导数公式) 0 (柯西-古萨基本定理) 2i 0 ( )n n C n c z z dz =− = − 0 0 取C z z r z 为0 | - | 内，且包含 的一条 简单闭曲线，则 = 2 −1 ic 洛朗级数中负幂项c−1 (z − z0 ) −1的系数
第4页第五章留数及其应用Residual1.2 定义1设z.是f(z)的有限孤立奇点，则存在z.的某一邻域0<-zl<r，使得f(z)= c,(z-zo)",(0<|z-zol<r)称上述展开式中(z一zo)-的系数c-,是f(z)在z处的留数(残数),记作Res[f(z),zol,Res(zo)或者Res f(z).Z=Z0故(*)f(z)dzRes[f(z),zol= c-12.元其中C为0<lz一zkr内，且包含z的一条简单闭曲线。结回束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第4页 故 1.2 定义1 0 0 0 ( ) 0 z f z z − z z r 设 是 的有限孤立奇点，则存在 的某一邻域 ，使得 0 1 0 1 0 0 0 ( ) ( ) , [ ( ), ] Re ( ) ( ). z z z z c f z z Res f z z s z Res f z − − = 称上述展开式中 − 的系数 是 在 处的留 数(残数) 记作 ， 或者 0 | | 0 0 . 其中C z z r z 为 − 内，且包含 的一条简单 闭曲线 0 1 1 Re [ ( ), ] ( ) (*) 2 C s f z z c f z dz i = = − 0 0 ( ) ( ) , (0 ) n n n f z c z z z z r =− = − − Residual
第5页第五章留数及其应用注:(1)(*)的重要意义在于提供了一个求积分的新方法d., z'e"dz = 2元iRes[ze",0]例如,U/z/=1若z为f(z)的有限可去奇点，则(2)Res[f(z),zl= c-1 = 0;sinz例如，Res[0] = c-1 = 0.z结回束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第5页 1 1 3 3 | | 1 2 Re [ ,0] z z z z e dz i s z e = = 例如， 注： (1)(*)的重要意义在于提供了一个求积分的新方法； 0 0 1 (2) ( ) Re [ ( ), ] 0 z f z s f z z c = = − 若 为 的有限可去奇点，则 ； ,0] 0. sin Re [ = c−1 = z z 例如， s