前言高等代数是数学专业的重要基础课。高等代数主要包括多项式及线性代数两部分，而线性代数又是理、工、医、农、经济等学科的基础课。高等代数（包括线性代数）的特点是习题类型多，内涵丰富，变化复杂，难于概括和统一处理。有时尽管概念与理论已经学懂，但面对某些习题却感到无从下手。本书编写的目的在于针对学生学习高等代数的困难，为他们提供在解题的方法与技巧方面的一把入门钥匙，也为那些准备报考硕士研究生的学生提供帮助，本书也可作为高等代数和线性代数的教师参考书。本书分九章，每章包括基本知识、例题、习题、习题答案与提示等四节，其中基本知识一节简要地概括了该章的有关概念和定理，例题一节中二、三十道例题将本章的各种类型的方法对应的典型问题展示出来，其中不乏有多所高校的硕士生入学试题。许多例题提供多种解法，并且对于有启示的例题题后附有“点评”，起到画龙点晴的作用，在纷绘的论述与计算中，抽象出本质性的规律，并指出处理这类间题常用的方法，尽量有可操作性。习题一节包括了各类重要方法的练习题。对例题的各种方法掌握后，一般做本书的习题不会有太大的困难，何况每章的最后一节都编有习题的答案与提示。本书可作为北京大学数学系编《高等代数》（第三版）和张禾瑞、郝锅新编《高等代数》（第四版）的学习参考书，其中北京大学数学系编《高等代数》（第三版）中增加了“双线性型与辛空间”一章，相应习题的内容将在本书修订时予以增补。本书的编写人员是多年从事高等代数教学的教师，来自多所高等学校，书中许多素材来源于他们的教学经验与积累。本书第一章由李师正教授编写，第二章和第九章由高玉玲教授编写，第三章和第五章由李桂荣教授编写，第四章由刘学鹏教授编写，第六章和第七章由张玉芬教授编写，第八章由王彩云副教授编写，全书由李师正教授统稿。由于编写人员水平所限。书中必然有不少错误和疏漏，愿请读者指正。编者2003年10月
目录第一章多项式81.1基本知识….$1..2例题.A81.3习题2081.4习题答案与提示22第二章行列式..26$2.1基本知识26$2.2例题31习题$2.371$2.4习题答案与提示80第三章线性方程组84$3.1基本知识84$3.2例题88$3.3习题·10683.4习题答案与提示112第四章矩阵11584.1基本知识·115$4.2例题121$4.3习题.13684.4习题答案与提示141二次型第五章150$ 5.1基本知识·150$5.2例题…152$5.3习题175$5.4习题答案与提示179第六章线性空间184$6.1基本知识·184$6.2例题188$6.3习题206$6.4习题答案与提示209第七章线性变换212
$7.1基本知识212$ 7.2例题·217$7.3习题.254$7.4习题答案与提示257第八章入一矩阵260$8.1基本知识260$8.2例题…264习题$8.3285$8.4习题答案与提示288第九章殿几里得空间291$9.1基本知识291$9.2例题…296习题·$9.3310$9.4习题答案与提示314Ⅱ
第一章多项式81.1基本知识一、数域与数环1.1）数域是一个由某些复数组成的集合P，它包括0和1，且P中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数2）常见的数域有有理数域O、实数域R和复数域C2.数环是一个由某些复数组成的非空集合R，且R中任意两个数的和、差、积仍是R中的数3.所有的数域都包含有理数域，数域总是数环.整数环是数环但不是数域二、一元多项式环1.设P为数域.如下的表达式称为数域P上的（一元）多项式：f(α)=anx"+an-iα"-l +...+ao,其中ao，ai,a2,",anEP,a,t"称为f()的第i次项，a,称为i次项系数.如果a,≠0,则f(α)的次数为n，记为a(f()）=n.零多项式无次数.2.f(α)和g(α)相等当且仅当对应系数相等3.多项式的和、差运算归结为对应系数的和、差.多项式的乘法运算归结为逐项相乘后合并同类项.加法和乘法适合交换律、结合律、分配律、消去律，4.数域P上的所有（一元）多项式的集合称为P上的一元多项式环，记为P[α].三、多项式的整除性1.带余除法：设f(α），g（）EP[r,g（）≠o则有唯一的g（）r（α)EP[α],使f(α)=q(r)g(α)+r(α),其中r(）=0或a(r())<a(g)）r（)称为余式，q()称为商式2. 整除:设f(),g()EP[r]. 如果有 q()EP[],使f()=.1:
q()g(),则称g(）整除f(）),记为g()lf()3.最大公因式：1)设f(),g()EP[],d()EP[]称为f()和g()的最大公因式,如果d()lf()且d(）lg（α）,同时如果h)/f(）且h（)lg（）,则有 h()ld(α).2）f(）和g（α）的最大公因式d（）可通过辗转相除法求得，且可以表为f()和g()的组合,即有u(),()E[l,使d(α)=u(a)f(x)+v(α)g(α),其中u(α)和()也通过辗转相除法求得.反之,如果d()是f()和g()的公因式.且d(）可表为f(）和g（）的上述组合形式，则d（）是fα）和g（r)的最大公因式3）f（）和g（）的最大公因式在不计非零常数因子的意义下是唯一的.用（f（z）g（r）)表示首项系数为1的最大公因式.4.互素：1）f(），g（α)EP[α]称为互素，如f(α）和g(α)除零次多项式外无公因式,记为(f(α),g())=12）（f(）,g（))=1当且仅当存在u(),()EP[α],使u()f(α)+ u(α)g(α)=1.3)如果(f(),g(r))=1,f()lg()h(),则 f(α)[h(α).4)如果 fi()lg(),fz()lg(),(f(),f,())=1,则 fi()f,()!g(x).5.不可约多项式：1）在数域P上次数≥1的多项式p（）称为P上的不可约多项式，如果它不能表为数域P上两个次数低于a（p（）)的多项式之积，一次多项式总是不可约的。2）设p（）为数域P土的不可约多项式，f（）是P上任意多项式，则p()lf()或(f(）,())=1恰有一式成立.3）设()为P上的不可约多项式，f（α），g（EP[],（）if(α）g(）,则()f()或p()lg()至少有一式成立.6.因式分解及唯一性定理：数域P上次数≥1的多项式f（）可以唯一地分解为数域P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是指如果有两个分解式f()=pi()p2()...p,(α)=q(r)qz().."q(α),那么必有s=t，并且适当排列因式的次序后有p,(α)=cq(α),i=1,2,"",s,其中c（i=1,2，，s），为非零常数.2