浙江科技学院Zhejiang University of Science and Technology第五章留数及其应用结运回束
结 束 返回 浙江科技学院 Zhejiang University of Science and Technology 第五章 留数及其应用
第2页第五章留数及其应用第五章留数及其应用1、孤立奇点2、留数留数在计算定积分中的应用3、结回束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第2页 第五章 留数及其应用 1、孤 立 奇 点 2、留 数 3、留数在计算定积分中的应用
第3页第五章留数及其应用s1孤立奇点1、孤立奇点的定义定义1 若f(z)在z.处不解析,但在z,的某个去心邻域0<-zl<内解析,则称z,为f(z)的孤立奇点.例如奇点f(z)=e2z=0孤立奇点1奇点f(z) :=11.z-11f(z) :奇点(n=±1,±2,·)1=07n元sinZ结回00束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第3页 §1 孤立奇点 1、孤立奇点的定义 定义1 0 , ( ) . ( ) , 0 0 0 0 内解析 则称 为 的孤立奇点 若 在 处不解析 但在 的某个去心邻域 z z z f z f z z z < - < d 例如 1 ( ) z f z e = 1 ( ) 1 sin f z z = 1 ( ) 1 f z z = - ⎯⎯⎯→ 奇点 z = 0 孤立奇点 ⎯⎯⎯→ 奇点 z = 1 ⎯⎯⎯→ z = 0, 奇点 1 z n( 1, 2, ) n = =
第4页第五章留数及其应用1-=0,：在z=0不论多么小的但:limn-→o n元去心邻域内,总有f(z)的奇点存在,奇点未必1故z=0不是的孤立奇点是孤立的。sin1/ z注若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点2、孤立奇点的分类若z为f(z)的孤立奇点，则存在>0,f(z)在0<-z内解析.于是f(z)在0<-z内可以展开成洛朗级数Zc,(z-z)"=Zc(z-z)"+Zc-,(z-z)". (1)n=-80n=0n=结回00束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第4页 奇点未必 是孤立的. 1 lim 0, 0 , ( ) n z n f z → 但 = = 在 不论多么小的 去心邻域内 总有 的奇点存在， 1 0 . sin1/ z z 故 = 不是 的孤立奇点 若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点. 2、孤立奇点的分类 0 0 0 ( ) 0, ( ) 0 | | . ( ) 0 | | z f z f z z z f z z z d d d < - < < - < 若 为 的孤立奇点，则存在 在 内解析 于是 在 内 可以展开成洛朗级数 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) . (1) n n n n n n n n n c z z c z z c z z - - =- = = - = - + - 注
第5页第五章留数及其应用可去奇点：展式中不含z-zo负幂项，即2.1(1) f(z) =cn(z-zo)", 0< z-z S,n=0则z.称为f(z)的可去奇点特点?sin zZ=0是它的可去奇点,72n2sinzN7.1“可去"一词5!3!(2n +1)7的解释CoSzT和的可去奇点是Z=0.2Z.7结回束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第5页 2.1 可去奇点：展式中不含z-z0负幂项，即 (1) ( ) ( ) , 0 | | , 0 0 = - 0 < - < d = f z c z z z z n n n . (2 1)! ( 1) 3! 5! 1 sin 2 4 2 + + = - + - + - n z z z z z n n z = 0是它的可去奇点. ( ) ; 则z0 称为f z 的可去奇点 特点? 2 1 1 cos z e z z z - - 和 的可去奇点是 “可去 ”一词 的解释 ? sin z z ： z = 0