基本概念章第一章基本概念内容提要及学习要求1.基本概念（1）有限集、无限集如果一个集合只含有有限个元素，则称这个集合为有限集；如果一个集合含有无穷多个元素，就称这个集合为无限集（2）子集A、B是两个集合，如果A的每一个元素都是B的元素，那么就称A是B的子集记作AcB.（3）集合的并设A、B是两个集合，由A的一切元素和B的一切元素组成的集合称为A、B的并.记为AUB.（4）集合的交由集合A、B的公共元素所组成的集合叫做A、B的交，记作ANB.（5）余集设A、B是两个集合，令A-B=xxEA，但xB），称为B在A中的余集，或者称为A与B的差（6）集合的积设A、B是两个集合，令AxB=((a,b)aeA,beB)，称为A与B的积（7）映射设A、B是两个集合，f是A到B的－个对应法则，如果对A中的每一个元素x，在对应法则f下都有B中唯一确定的元素y与之对应，则称f是A到B的一个映射；y叫做x在下的像，x叫做y在f下的一个原像；A的所有元素在f下的像组成的集合称为A在，下的像，或者叫做映射于的像，记为f(A)，即f(A)=(f(x)/VxEA)，显然f(A)B.（8）单射设f是A到B的一个映射，如果对于A中的任意两个不同的元素x和x2，都有f(x）f(x），那么称是一个单射.（9）满射设f是A到B的一个映射，如果f(A)=B，就称f是一个满射（10）双射（一一映射）f是A到B的一个映射，如果f既是单射，又是满射，就称于是一个双射（一一映射)（11）映射相等设和g都是A到B的一个映射，如果对VxEA，都有1
1 第 一 基本概念 章 基本概念 一、 内容提要及学习要求 1．基本概念 （1）有限集、无限集 如果一个集合只含有有限个元素，则称这个集合为有限 集；如果一个集合含有无穷多个元素，就称这个集合为无限集． （2）子集 A、B 是两个集合，如果 A 的每一个元素都是 B 的元素，那么就称 A 是 B 的子集．记作 A B Í ． （3）集合的并 设 A、B 是两个集合，由 A 的一切元素和 B 的一切元素组成的 集合称为 A、B 的并．记为 A B U ． （4）集合的交 由集合 A、B 的公共元素所组成的集合叫做 A、B 的交，记作 A B I ． （5）余集 设 A、B 是两个集合，令 A - B = Î {x x A, 但 x B Ï } ，称为 B 在 A 中的余集，或者称为 A 与 B 的差. （6） 集合的积 设 A、B 是两个集合，令 A´ B = {(a,b) , aÎ Î A b B} ，称为 A 与 B 的积. （7） 映射 设 A、B 是两个集合，f 是 A 到 B 的一个对应法则，如果对 A 中的 每一个元素 x，在对应法则 f 下都有 B 中唯一确定的元素 y 与之对应，则称 f 是 A 到 B 的一个映射；y 叫做 x 在 f 下的像，x 叫做 y 在 f 下的一个原像；A 的所有元素在 f 下的像组成的集合称为 A 在 f 下的像，或者叫做映射 f 的像，记为 f A( ) ，即 f (A) = { f ( ) x " Îx A} ，显然 f ( ) A B Í ． （8）单射 设 f 是 A 到 B 的一个映射，如果对于 A 中的任意两个不同的元素 x1和 x2，都有 1 2 f (x ) ¹ f x( ) ，那么称 f 是一个单射． （9）满射 设 f 是 A 到 B 的一个映射，如果 f (A)=B，就称 f 是一个满射． （10）双射（一一映射） f 是 A 到 B 的一个映射，如果 f 既是单射，又是满射， 就称 f 是一个双射（一一映射）． （11）映射相等 设 f 和 g 都是 A 到 B 的一个映射，如果对"x Î A ，都有 第 一 章
G高等代数学习指导书f(x)=g(x)，那么称映射f和g相等.（12）恒等映射设F是A到A的一个映射，如果对于VxEA，都有f(x)=x，那么就称了是集合A的恒等映射，记为jA（13）映射的合成设f是A到B的一个映射，g是B到C的一个映射，规定h是A到C的一个映射，使每一个xeA，有h(x)=g(f(x))，称h为与g的合成，记为gof.（14）逆映射设是A到B的一个映射，若存在B到A的映射g，使g°=j,。g=j，称映射g为f的逆映射（15）置换设A为有限集，A到A自身的双射叫做A的一个置换（16）代数运算设A是一个非空集合，把A×A到A的一个映射称为A的一个代数运算.（17）数域设K是复数集的一个非空子集，若K中含有不等于零的数，且K关于复数的加、减、乘、除法（除数不为零）封闭，即K中任意两个数的和、差、积、商都还在K中，则称K为数域，常见的数域有实数域、有理数域、复数域等，而全体整数的集合对除法不封闭，所以不是数域，2.主要结论（1）A到B的映射F是单射的充分必要条件是：对于Vx、xEA，如果f(x)=f(x2),就有x=x2（2）A到B的映射是满射的充分必要条件是：对VyeB，ExeA,使f(x)=y.（3）映射的乘法满足结合律，即若f：A→B，g:B→C，h:C→D是映射，则ho(goj)=(hog)of.（4）设f是A到B的映射，下列说法等价：（i）f有逆映射；（ii）f是双射：（i）存在映射g：B→A，使gof=j,fog=js.如果的逆映射存在，则逆映射唯一，记为f-"，且f。f-=jg，f-。f=jA（5）F是A到B的一个映射，则f。j=f，Jgf=.（6）最小数原理：自然数集的任意一个非空子集必含有一个最小数（7）数学归纳法原理：设有一个与自然数n有关的命题，如果（i）当n=1时，命题成立；2
G 高等代数学习指导书 2 f (x) = g x( ) ，那么称映射 f 和 g 相等． （12）恒等映射 设 f 是 A 到 A 的一个映射，如果对于"x Î A ，都有 f (x) = x， 那么就称 f 是集合 A 的恒等映射，记为 A j ． （13）映射的合成 设 f 是 A 到 B 的一个映射，g 是 B 到 C 的一个映射，规定 h 是 A 到 C 的一个映射，使每一个 x A Î ，有 h(x) = g( f x( )) ，称 h 为 f 与 g 的合成， 记为 g f o ． （14）逆映射 设 f 是 A 到 B 的一个映射，若存在 B 到 A 的映射 g，使 g f o , A B = = j f o g j ，则称映射 g 为 f 的逆映射． （15）置换 设 A 为有限集，A 到 A 自身的双射叫做 A 的一个置换． （16）代数运算 设 A 是一个非空集合，把 A A ´ 到 A 的一个映射称为 A 的一 个代数运算． （17）数域 设 K 是复数集的一个非空子集，若 K 中含有不等于零的数，且 K 关于复数的加、减、乘、除法（除数不为零）封闭，即 K 中任意两个数的和、差、 积、商都还在 K 中，则称 K 为数域．常见的数域有实数域、有理数域、复数域等， 而全体整数的集合对除法不封闭，所以不是数域． 2．主要结论 （1）A 到 B 的映射 f 是单射的充分必要条件是：对于 1 2 " Î x、 ， x A 如果 1 2 f (x ) = f x( )，就有 1 2 x x = ． （2）A 到 B 的映射 f 是满射的充分必要条件是：对"y Î B， ， $ Îx A 使 f ( ) x y = ． （3）映射的乘法满足结合律，即若 f：A ® B，g：B ® ® C， ：h C D 是映射， 则 h o(g o f ) = ( ) h o o g f ． （4）设 f 是 A 到 B 的映射，下列说法等价： （ⅰ）f 有逆映射； （ⅱ）f 是双射； （ⅲ）存在映射 g：B A ® ，使 A B g o o f = = j ，f g j ． 如果 f 的逆映射存在，则逆映射唯一，记为 1 f - ，且 1 1 B A f f j f f j - - o o = = ， ． （5）f 是 A 到 B 的一个映射，则 A B f o o j = = f，j f f ． （6）最小数原理：自然数集的任意一个非空子集必含有一个最小数． （7）数学归纳法原理：设有一个与自然数 n 有关的命题，如果 （ⅰ）当 n=1 时，命题成立；
第基本积念章（ii）假设n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立；那么这个命题对于一切自然数都成立（8）第二数学归纳法原理：设有一个与自然数n有关的命题，如果（i）当n-1时命题成立；（ii）假设命题对于一切小于k的自然数成立，则命题对于k也成立；那么命题对于一切自然数n来说都成立，（9）全体复数的集合，全体实数的集合，全体有理数的集合都是数域，分别叫复数域，实数域，有理数域.（10）任何数域都包含有理数域．即有理数域是最小的数域3.学习要求（1）集合是数学最基本的概念之一，应该理解集合、子集、集合的交、集合的并、集合的差、集合的积的含义：特别注意在A-B的定义里，并没有要求B是A的子集，AxB并不是新的东西，如取定一个坐标系后，平面上所有点的坐标的集合就是R与R的积：RxR=((x,y)x,yeR).（2）映射的概念必须理解好，要掌握好单射、满射、双射这三类重要的映射，还要能在具体问题中作出正确的判断，要注意并不是任意两个映射都是可以合成的，即使两个映射可以合成，也不满足交换律（3）数学归纳法是常用的一种证明方法，要熟练掌握（4）理解数域的概念，会判断一个数集是否是数域二、难点与重点1.重点：映射、单射、满射、双射的概念，数域的概念及数学归纳法，2.难点：单射、满射的判断，数学归纳法的应用三、例题与分析例1下列对应法则是否是映射，是单射还是满射？（1）设A是全体整数的集合，B是全体偶数的集合，规定：f:A→B,nH2n,VneA.（2）设A是全体复数的集合，B是非负实数的集合，规定：f:A-→B,xHx,VxEA.3
3 第 一 基本概念 章 （ⅱ）.假设n k = 时命题成立，则n k = +1时命题也成立；那么这个命题对于一 切自然数都成立． （8）第二数学归纳法原理：设有一个与自然数 n 有关的命题，如果 （ⅰ）当 n=1 时命题成立； （ⅱ）假设命题对于一切小于 k 的自然数成立，则命题对于 k 也成立；那么命 题对于一切自然数 n 来说都成立． （9）全体复数的集合，全体实数的集合，全体有理数的集合都是数域，分别叫 复数域，实数域，有理数域． （10）任何数域都包含有理数域．即有理数域是最小的数域． 3. 学习要求 （1）集合是数学最基本的概念之一，应该理解集合、子集、集合的交、集合的 并、集合的差、集合的积的含义．特别注意在 A-B 的定义里，并没有要求 B 是 A 的 子集．A×B 并不是新的东西，如取定一个坐标系后，平面上所有点的坐标的集合就 是 ¡ 与¡ 的积： ¡´ ¡ ¡ = Î {(x, y ) , x y } ． （2）映射的概念必须理解好，要掌握好单射、满射、双射这三类重要的映射， 还要能在具体问题中作出正确的判断．要注意并不是任意两个映射都是可以合成的， 即使两个映射可以合成，也不满足交换律． （3）数学归纳法是常用的一种证明方法，要熟练掌握． （4）理解数域的概念，会判断一个数集是否是数域． 二、 难点与重点 1. 重点： 映射、单射、满射、双射的概念，数域的概念及数学归纳法． 2. 难点： 单射、满射的判断，数学归纳法的应用． 三、 例题与分析 例 1 下列对应法则是否是映射，是单射还是满射？ （1）设 A 是全体整数的集合，B 是全体偶数的集合，规定： f：A ® B， ， n a 2n " În A ． （2）设 A 是全体复数的集合，B 是非负实数的集合，规定： f：A ® B，x a| | x ，" Îx A．
G高等代数学习指导书（3）设A是自然数的集合，规定：f：A→A，nH→n+l，VnEA.分析判断一个对应法则是否是映射，用映射的定义判断，集合A到B的对应法则f是否是映射关键看三条：（i）是否给A的每一个元素都规定了对应的像；（ii）f给A的每一个元素规定的像是否都在B中：（i）f给A的每一个元素的像是否唯一确定在（1）中，对每一个整数n，f都规定了对应的像2neB，每一个整数n的像是唯一确定的：所以（1）中的对应法则f是映射：同理可对（2）（3）作出判断：要判断一个映射是否是单射或满射，用单射或满射的定义或者充分必要条件判断。解（1）是一个映射，且对于不同的整数有不同的偶数与之对应，所以厂是单射；又对于每一个偶数总可以找到一个整数为原像，故也是满射.（2）f是映射，但对于A中的不同元素1和-1，在f下的像都是1，所以f不是单射；对于每一个非负实数，都可以我到原像，所以f是满射（3）f是映射，且是单射，非满射因为1eA没有原像例2设f：A→B，g:B→C是映射，证明：（1）如果gf是单射，那么f也是单射；（2）如果g°f是满射，那么g也是满射；（3）如果g、f都是双射，那么g也是双射，且（gf)-l=f-gl分析，用单射、满射的充分必要条件及双射的定义证明证明（1）任取x、xzEA,如果f(x)=f(x)，那么g(f(x)=g(f(）即(go)(x）=（gof)x），而gof是单射，所以x=x，因此，了是单射（2任取ceC，则由gf是满射知，存在aeA,使gf(a)=c，即g(f(a)=c，令f(a)=b,则g(b)=c，故g是A到B的满射.（3）先证g。f是单射．任取x、x,EA，若gf()=gf(xz)即g(f(x)=g(f(xz))，因g是双射，故g是单射，从而有f(x)=f(x)，而f也是单射，故有x=x，所以gof是单射；再证gof是满射．任取ceC，因g是满射，故存在beB，使g(b)=c，而f也是满射，故存在aeA，使f(a)=b，于是gf(a)=g(f(a))=g(b)=c，所以gof也是满射。因此gof是双射因(gof)o(f-log)=go(fof-")og=gojog=gog=jc,(f-lg")o(gof)=f-lo(g-"og)of=f-l。jsof=f-。f =ja,4
G 高等代数学习指导书 4 （3）设 A 是自然数的集合，规定： f：A ® A， ， n a n +1 " În A ． 分析 判断一个对应法则是否是映射，用映射的定义判断，集合 A 到 B 的对应 法则 f 是否是映射关键看三条： （ⅰ）f 是否给 A 的每一个元素都规定了对应的像； （ⅱ）f 给 A 的每一个元素规定的像是否都在 B 中； （ⅲ）f 给 A 的每一个元素的像是否唯一确定． 在（1）中，对每一个整数 n，f 都规定了对应的像2n B Î ，每一个整数 n 的像 是唯一确定的．所以（1）中的对应法则 f 是映射；同理可对（2）、（3）作出判断．要 判断一个映射是否是单射或满射，用单射或满射的定义或者充分必要条件判断． 解 （1）f 是一个映射，且对于不同的整数有不同的偶数与之对应，所以 f 是 单射；又对于每一个偶数总可以找到一个整数为原像，故 f 也是满射． （2）f 是映射，但对于 A 中的不同元素 1 和－1，在 f 下的像都是 1，所以 f 不 是单射；对于每一个非负实数，都可以找到原像，所以 f 是满射． （3）f 是映射，且是单射，非满射；因为 1Î A 没有原像． 例 2 设 f：A ® ® B， ：g B C 是映射，证明： （1）如果 g f o 是单射，那么 f 也是单射； （2）如果 g f o 是满射，那么 g 也是满射； （3）如果 g、f 都是双射，那么 g f o 也是双射，且 1 1 1 g f f g - - - （ ）o o = ． 分析 用单射、满射的充分必要条件及双射的定义证明． 证明 （1）任取 1 2 x、 ， x A Î 如果 1 2 f (x ) = f x( ) ，那么 1 2 g( f (x )) = g( f x( )) 即 1 (g o f x )( ) = 2 (g o f x )( ) ，而 g f o 是单射，所以 1 2 x x = ，因此，f 是单射． （2）任取c C Î ，则由 g f o 是满射知，存在a A Î ，使 g o f ( ) a c = ，即 g( f (a c )) = ， 令 f ( ) a b = ，则 g( ) b c = ，故 g 是 A 到 B 的满射． （3）先证 g f o 是单射．任取 1 2 1 2 x、x Î = A， ， 若g o o f (x ) g f x( ) 即 1 g( f x( )) = 2 g( f x( )) ，因 g 是双射，故 g 是单射，从而有 1 2 f (x ) = f x( ) ，而 f 也是单射，故有 1 2 x x = ，所以 g f o 是单射；再证 g f o 是满射．任取c C Î ，因 g 是满射，故存在 bÎ = B，使 g( ) b c ，而 f 也是满射，故存在 aÎ = A，使 f ( ) a b ，于是 g o f a( ) = g( f (a)) = = g( ) b c ，所以 g f o 也是满射．因此 g f o 是双射． 因 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) B C g f f g g f f g g j g g g j - - - - - o o o = o o o = o o o = = ， 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) B A f g g f f g g f f j f f f j - - - - - - o o o = o o o = o o o = =
基本概念所以(gof)- = f-l。g-l例3下列数集是否是数域？若是，则给出证明，若不是，则给出反例(1) 4=(a+bv3ia, beQ) ;(2) B=(a+bilaeQ,be R)解（1）A是数域，这是因为存在非零数1=1+0V3ieA，且对任意的a+bV3i,a,+b,V3ieA,其中a，a,,b,b,eQ，因Q对加、减、乘、除法均封闭，所以，(a +b /3i)±(a, +b, V3i)=(a, ±a,)+ (b, ±b,)3ie A ,(a+b,3i)(a,+bV3i)=(aa-3bb,)+(ab +a,b)/3ieA,当α+bV3i*0时，有a+3b0，+eQ，==Q，于是a,2 +3b,2a,+3b,a, +b3ii_aa+3bbab-ab3ieAaz +b,/3i-az +3ba+3b2所以A是数域，（2）B不是数域，例如，取i=0+lieB,2i=0+2ieB，但ix/2igB，即B对乘法不封闭所以B不是数域.例4证明Fibonacci序列α,=1,a,=2,a,=a-+an-2”n=3,4…的通项公式为-()-())证明直接验算，可知n=1时，( (F)(-)2结论成立：n=2时，1 (1+ V5_ 1- V5)(3+ V53-V5()-L2222结论成立假设n<k时结论成立．现证n=k时结论成立．此时，5
5 第 一 基本概念 章 所以 1 1 1 ( ) g f f g - - - o o = ． 例 3 下列数集是否是数域？若是，则给出证明，若不是，则给出反例． (1) A = {a + Î b 3 i a b , ¤} ； (2) B = {a + bi , a b Î Î ¤ ¡} ． 解（1）A 是数域．这是因为存在非零数1=1+ Î 0 3i A，且对任意的 1 1 2 2 a + b 3i， ， a + Î b A 3i 1 2 1 2 其中a ,a , , b b Τ ¤ ，因 对 加、减、乘、除法均封闭，所以， 1 1 2 2 1 2 1 2 (a + b 3i) ± (a + b 3i) = (a ± a ) + (b ± Î b A ) 3i ， 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 (a + b 3i)(a + b 3i) = (a a - 3b b ) + (a b + Î a b A ) 3i ， 当 a b 2 2 + ¹ 3i 0 时，有 2 2 2 2 a b + ¹ 3 0 ， 1 2 1 2 2 2 2 2 3 3 a a b b a b + Î + ¤， 2 1 1 2 2 2 2 2 3 a b a b a b - Î + ¤，于是 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3i 3 3i 3i 3 3 a b a a b b a b a b A a b a b a b + + - = + Î + + + ， 所以 A 是数域． （2）B 不是数域．例如，取i = +0 1iÎ B B , 2i = 0 + Î 2i ，但i ´ Ï 2i B ，即 B 对乘法不封闭．所以 B 不是数域． 例 4 证明 Fibonacci 序列 1 2 1 2 1 2 3 4 n n n a a a a a n - - = ， = ， = + = ， ，L的通项公式为 1 1 1 1 5 1 5 5 2 2 n n n a + + + - = - æ ö æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø . 证明 直接验算，可知n = 1时， 2 2 1 1 5 1 5 1 3 5 3 5 1 5 5 2 2 2 2 + - + - - = - = æ ö æ ö æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø ， 结论成立； n = 2 时， 3 3 1 1 5 1 5 1 1 5 1 5 3 5 3 5 1 2 5 5 2 2 2 2 2 2 + - + - + - - = - - + = æ ö æ ö æ ö æ öæ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ è ø è ø è øè ø è ø ， 结论成立． 假设n k < 时结论成立．现证n k = 时结论成立．此时