第三章 内容导航 第一节不定积分的概念与性质 第二节不定积分的换元法与分部法 第三节有理函数的不定积分 第四节定积分的概念与性质 第五节微积分基本定理 第六节定积分的换元法和分部法 第七节定积分的换元法和分部法 第八节反常积分
31 第三章 一元函数积分学及其应用 内容导航 第四节 定积分的概念与性质 第五节 微积分基本定理 第六节 定积分的换元法和分部法 第七节 定积分的换元法和分部法 第八节 反常积分 第三章 第一节 不定积分的概念与性质 第三节 有理函数的不定积分 第二节 不定积分的换元法与分部法
课前导读 本节主要讨论复合函数和乘积函数的积分.在学习换元法和分部法 之前，我们要先复习一下本节会用到的微分公式和三角函数的积化和 差公式 微分计算： kdx-d/ox;xdx=d Idx=dln:e'dx=de'; h=dv反gdk=dacan 2Vx sinxdx =d(-cosx); cos xdx =dsinx. 32
课 前 导 读 32 本节主要讨论复合函数和乘积函数的积分. 在学习换元法和分部法 之 前, 我们要先复习一下本节会用到的微分公式和三角函数的积化和 差公式. 微分计算: 1 d d ln ; e d de ; x x x x x x = = 2 1 1 d d ; d d arctan ; 2 1 x x x x x x = = + sin d d( cos ); cos d dsin x x x x x x = − = . 2 d d ; d d ; 2 x k x kx x x = =
课前导读 积化和差 -Tos+P月+-cosfc-PB明 sin acos-sin(+)+sin(@-B)]. sins=-cos+)-cos(-). 公
课 前 导 读 33 = cos( + )+ cos( − ) 2 1 cos cos ; = sin ( + )+ sin ( − ) 2 1 sin cos ; = − cos( + )− cos( − ) 2 1 sin sin . 积 化 和 差
一、 第一类换元法（凑微分法） 第三章一元函数积分学及其应用 利用上节介绍的不定积分的性质及基本积分公式表，所能计算的不定积分 是很有限的，必须进一步研究不定积分的求法.本节把复合函数的微分法反过来 用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分 法，简称换元法.换元法通常分为两类，即第一类换元法与第二类换元法 34
34 第三章 一元函数积分学及其应用 利用上节介绍的不定积分的性质及基本积分公式表, 所能计算的不定积分 是很有限的, 必须进一步研究不定积分的求法. 本节把复合函数的微分法反过来 用于求不定积分, 利用中间变量的代换, 得到复合函数的积分法, 称为换元积分 法, 简称换元法. 换元法通常分为两类, 即第一类换元法与第二类换元法. 一、第一类换元法(凑微分法)
第一类换元法（凑微分法） 第三章一元函数积分学及其应用 定理1 设fu具有原函数F(x),u=(x)可导，则F[p(x)]是f[p(x)]p'(x) 的原函数，有换元公式 Jr(o(x)()d-[Jf(u)duJu-o() 证明 因为F(x)是fu的原函数故∫f(wu=F(u)+C.又u=p(x)可微 故由复合函数微分法，有du=p'(x)dr=f[p(x)]p(x)dx, 从而由不定积分定义得 SfLo(x)]p'(x)dx=F[o(x)]+C-[Sf(u)dul-0) 月5
35 第三章 一元函数积分学及其应用 定理 1 ( ( )) ( ) ( ) ( ) f x x x f u u d d u x = = . 证明从而由不定积分定义得 f φ x φ ' x dx=F φ x +C= f u du u=φ x . 一、第一类换元法(凑微分法) 设 f (u)具有原函数 F x( ) , u =(x)可 导,则 F x ( ) 是 f x x ( ) ( ) 的原函数,有换元公式 因 为 F x( ) 是 f (u)的原函数,故 f u u F u C ( )d = + ( ) . 又 u =(x)可 微, 故由复合函数微分法, 有d d u x x =( ) =𝑓[𝜑(𝑥)]𝜑 ′(𝑥)𝑑𝑥