一、 第一类换元法（凑微分法） 第三章一元函数积分学及其应用 注第一类换元法的关键是：在求[g(x)Hx时，如何将g(x)化为 g(x)=f[(x)]'(x)的形式.其具体作法可按如下步骤进行 (1)变换积分形式（或称凑微分），即[f(x)dx=g[p(x】o'(x)dr; (2)作变量代换u=p(x),有∫f(x)dx=∫g(u)du; (3)利用常用的积分公式求出g(u)的原函数F(w,即得「g(w)du=F(0+C, 从而∫f(x)dr=F(w+C; (4)回到原来的变量，将u=p(x)代入即得[f(x)dr=F[p(x]+C 读者在熟练了这四个步骤以后，也可不必引入中间变量=(x).这和我们 学习过的复合函数求导法则相类似，请看下面的例题 36
36 第三章 一元函数积分学及其应用 注 第一类换元法的关键是:在求 g(x)dx 时,如何将 g(x)化为 g x f x x ( ) = ( ) ( ) 的形式. 其具体作法可按如下步骤进行. (1)变换积分形式(或称凑微分),即 f x x g x x x ( )d [ ( )] ( )d = ; (2)作变量代换 u x = ( ) ,有 f x x g u u ( )d ( )d = ; (3)利用常用的积分公式求出 g u( ) 的原函数 F u( ) ,即 得 g u u F u C ( )d ( ) = + , 从而 f x x F u C ( )d ( ) = + ; (4)回到原来的变量,将 u x = ( ) 代入即得 f x x F x C ( )d [ ( )] = + . 读者在熟练了这四个步骤以后,也可不必引入中间变量 u x =( ) . 这和我们 学习过的复合函数求导法则相类似,请看下面的例题. 一、第一类换元法(凑微分法)
第一类换元法（凑微分法） 第三章一元函数积分学及其应用 例1求∫(3x+2)dx 解 (I)变换积分形式：因为3dr=d(3x)=d(3x+2),所以 ∫3x+25d=写3x+25-3d=J6x+25d3x+2): (2)设变量代换：令u=3x+2,得du=d(3x+2)=3d, 即有 凑微分的步骤 ∫3x+2dk=Jrdu, 371
37 第三章 一元函数积分学及其应用 例 1 求 5 (3 2) d x x + . 解 (1)变换积分形式:因为3d d 3 d 3 2 x x x = = + ( ) ( ),所以 5 5 5 1 1 (3 2) d (3 2) 3d = (3 2) d(3 2) 3 3 x x x x x x + = + + + ; (2)设变量代换:令u x = + 3 2,得d d 3 2 3d u x x = + = ( ) , 即有 5 5 1 (3 2) d d 3 x x u u + = ; 一、第一类换元法(凑微分法) 凑微分的步骤
一、 第一类换元法（凑微分法） 第三章一元函数积分学及其应用 例1求[(3x+2)dx (3利用基本积分公式求上式右端积盼引d写名+C 从而 x+2+C (4)回到原来变量，将u=3x+2代入上式，得所求积分为 j6x+2r-56x+2r+C 38
38 一、第一类换元法(凑微分法) 第三章 一元函数积分学及其应用 (3)利用基本积分公式求上式右端积分: 1 1 1 5 6 d 3 3 6 u u u C = + , 从而 5 6 1 (3 2) d 18 x x u C + = + ; (4)回到原来变量,将u x = + 3 2代入上式,得所求积分为 5 6 1 (3 2) d (3 2) 18 x x x C + = + + . 例 1 求 5 (3 2) d x x +
第一类换元法（凑微分法） 第三章一元函数积分学及其应用 例1求∫(3x+2)d 以后我们就不用写出中间变量，从求积分的第一步的式子中，将(3x+2)当作 中间变量“，直接得到第四步的结果.这样，本例求积分过程可简化为 j3x+2d-6x+2d6x+2)-i86x+2r+C 般地，当被积函数形式为f(x+b)时，可作变换u=ax+b,即若f(x)有原 函数F(x),则 ∫fac+bhr=Flar+b)+C 39
39 第三章 一元函数积分学及其应用 以后我们就不用写出中间变量u ,从求积分的第一步的式子中,将(3 2) x + 当作 中间变量u ,直接得到第四步的结果. 这样,本例求积分过程可简化为 5 5 6 1 1 (3 2) d (3 2) d(3 2) (3 2) . 3 18 x x x x x C + = + + = + + 一般地,当被积函数形式为 f (ax + b)时, 可作变换 u = ax +b ,即若 f (x)有原 函数 F(x),则 ( ) F(ax b) C a f ax + b x = + + 1 d . 一、第一类换元法(凑微分法) 例 1 求 5 (3 2) d x x +
一、第一类换元法（凑微分法） 第三章一元函数积分学及其应用 例2求不定积盼1+2 +2-222x0+2u 解 -d0+2422 +C u=1+2x1+2x+C. 40
40 第三章 一元函数积分学及其应用 例 2 求不定积分 1 d 1 2 x + x . 解 1 d 1 2 x + x 1 1 d(1 2 ) 2 1 2 x x = + + = ln u + C 2 1 一、第一类换元法(凑微分法) 1 1 2d 2 1 2 x x = + 1 1 (1 2 ) d 2 1 2 x x x = + + 1 2 + =x u 1 1 d 2 u u u x = +1 2 1 ln 1 2 . 2 + + x C